РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6691 Добавить в вариант

Let’s split the sequence of natural numbers into such groups: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), … What are the first and the last numbers in the N^th group?

Разобьем ряд положительных целых чисел на группы следующим образом: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), … С какого числа начинается и каким заканчивается N-ая группа?

Спрятать решение

Решение.

Remark that group n comprises n consecutive integers; hence the group starts with the number $дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1$ (easy to prove by induction) and ends by $дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ;$ because of this, the $1989 в степени левая круглая скобка \text th правая круглая скобка$ group starts with 1 977 067 and ends by 1 979 055.

Заметим, что n-ая группа состоит из n последовательных натуральных чисел; поэтому эта группа начинается с числа $дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1$ (доказывается по индукции) и заканчивается числом $дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ и, следовательно, 1989-ая группа начинается с числа 1 977 067, а заканчивается числом 1 979 055.

Ответ: начинается с числа 1 977 067, а заканчивается числом 1 979 055.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 9 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2020 год

Классификатор: Методы алгебры. Метод математической индукции, Разное. Разбиения на пары и группы

Спрятать решение · Помощь