РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6268 Добавить в вариант

Для каждого a, при которых уравнение $x в кубе минус x в квадрате минус 4x минус a=0$ имеет три различных действительных корня, обозначим через $x_1=x_1 левая круглая скобка a правая круглая скобка ,$ $x_2=x_2 левая круглая скобка a правая круглая скобка ,$ $x_3=x_3 левая круглая скобка a правая круглая скобка$ эти корни, упорядоченные по убыванию $левая круглая скобка x_1 больше x_2 больше x_3 правая круглая скобка .$ Выясните, при каком из этих a выражение $x в квадрате _1x_2 плюс x в квадрате _2x_3 плюс x в квадрате _3x_1$ принимает наибольшее возможное значение. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой. Если таких a найдется несколько, то в ответе укажите их сумму.

Спрятать решение

Решение.

Найдём при каких а будет ровно три различных решения. Для этого рассмотрим выражение $\tildef левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус x в квадрате минус 4 x.$ Три решения $\tildef левая круглая скобка x правая круглая скобка =a$ будут тогда и только тогда когда прямая $y=a$ будет иметь три точки пересечения с графиком функции $y=\tildef левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдём производную

$\tildef левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =3 x в квадрате минус 2 x минус 4=3 левая круглая скобка x минус x_ плюс правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_ минус правая круглая скобка ,$

где $x_\pm= дробь: числитель: левая круглая скобка 1 \pm корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби .$ В виду того, знак производной меняется при переходе через корни $x_\pm,$ начиная со знака плюс на $плюс бесконечность ,$ то локальный минимум

$\tildef_\min =\tildef левая круглая скобка x_ плюс правая круглая скобка = минус левая круглая скобка дробь: числитель: 38 плюс 26 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка = минус 4,879 \ldots,$

а локальный максимум

$\tildef_\max =\tildef левая круглая скобка x_ минус правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 38 плюс 26 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби =2,064 \ldots,$

Следовательно при всех $a принадлежит левая круглая скобка \tildef_\min ,$ $\tildef_\max правая круглая скобка$ и только при них уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ будет иметь три различных решения. Введём обозначения

$u=x_1 в квадрате x_2 плюс x_2 в квадрате x_3 плюс x_3 в квадрате x_1;$

$v=x_3 в квадрате x_2 плюс x_2 в квадрате x_1 плюс x_1 в квадрате x_3.$

Из теоремы Виета, известно:

$\sigma_1=x_1 плюс x_2 плюс x_3=1;$

$\sigma_2=x_1 x_2 плюс x_1 x_3 плюс x_2 x_3= минус 4;$

$\sigma_3=x_1 x_2 x_3=a.$

Легко проверить справедливость равенств:

$u=v=\sigma_1\sigma_2 минус \sigma_3;$

$u умножить на v=9\sigma в квадрате _3 минус 6\sigma_1\sigma_2\sigma_3 плюс \sigma_2 в кубе плюс \sigma_3\sigma_1 в кубе .$

Откуда $u плюс v= минус 4 минус 3 a$ и $u умножить на v=9 a в квадрате плюс 25 a минус 64.$ Следовательно, переменные u и v  — решения квадратного уравнения:

$u в квадрате плюс левая круглая скобка 4 плюс 3 a правая круглая скобка u плюс левая круглая скобка 9 a в квадрате плюс 25 a минус 64 правая круглая скобка =0.$

Учитывая, что

$u минус v= левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 минус x_3 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус x_3 правая круглая скобка больше 0$

найдем максимальное значение, которое может принимать u:

$u_\max = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус 4 минус 3 a плюс корень из: начало аргумента: минус 27 a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 76 a плюс 272 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Найдём максимальное значение последнего выражения для $a принадлежит левая круглая скобка \tildef_\min ,$ $\tildef_\max правая круглая скобка$ для этого вычислим производную и приравняем к нулю:

$минус 3 плюс дробь: числитель: минус 27 a минус 38, знаменатель: корень из: начало аргумента: минус 27 a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 76 a плюс 272 правая круглая скобка конец дроби =0 \Rightarrow минус 27 a минус 38=3 корень из: начало аргумента: минус 27 a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 76 a плюс 272 правая круглая скобка .$

Последнее уравнение равносильно следующему: $243 a в квадрате плюс 684 a минус 251=0$ при условии, что $минус 27 a минус 38 больше или равно 0.$ Откуда

$a=a в степени * = дробь: числитель: минус 38 минус 13 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби \approx минус 3,1434 \ldots .$

Из вида a* вытекает, что $a в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка \tildef_\min ,$ $\tildef_\max правая круглая скобка ,$ а из вида производной следует, что при $a меньше a в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка$ производная положительна, а при $a больше a в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка$ производная отрицательна на области определения производной. Следовательно,

$u_\max =u левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка правая круглая скобка \approx 10,53.$

Ответ: −3,14.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Задачи с параметрами. Минимаксные задачи с параметрами, Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен

Спрятать решение · Помощь