сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Му­ра­вей Боря дви­га­ет­ся по ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, стар­туя из точки P0  =  (0, 0), дви­га­ясь к точке P1  =  (1, 0), и далее по спи­ра­ли про­тив ча­со­вой стрел­ки (см. рис.). Точки с це­ло­чис­лен­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми, в ко­то­рые он по­па­да­ет, об­ра­зу­ют по­сле­до­ва­тель­ность Pn. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки P1557.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим точки, ко­то­рые яв­ля­ют­ся пра­вы­ми ниж­ни­ми и ле­вы­ми верх­ни­ми уг­ла­ми ло­ма­ной, то есть точки вида  левая круг­лая скоб­ка k, 1 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка минус k, k пра­вая круг­лая скоб­ка . Легко ви­деть, что это точки P1, P4, P9, и т. д. Дей­стви­тель­но, рас­сто­я­ние от точки  левая круг­лая скоб­ка k, 1 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка до  левая круг­лая скоб­ка минус k, k пра­вая круг­лая скоб­ка по ло­ма­ной со­став­ля­ет 4 k минус 1, что есть раз­ность между  левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те и  левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . Ана­ло­гич­но, рас­сто­я­ние от  левая круг­лая скоб­ка минус k, k пра­вая круг­лая скоб­ка до  левая круг­лая скоб­ка k плюс 1, минус k пра­вая круг­лая скоб­ка равно 4 k плюс 1, что есть раз­ность между  левая круг­лая скоб­ка 2 k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те и  левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . По ин­дук­ции по­лу­ча­ем, что P_ левая круг­лая скоб­ка 2 k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка k, 1 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка и P_ левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка минус k, k пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что  левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 20 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1521. Зна­чит, точка P1521 имеет ко­ор­ди­на­ты (20, −19). Точка P1557 на 36 выше ее, то есть имеет ко­ор­ди­на­ты (20, 17).

 

Ответ: (20, 17).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Пра­виль­ное рас­суж­де­ние с ариф­ме­ти­че­ской ошиб­кой, при­во­дя­щей к не­пра­виль­но­му от­ве­ту — 4−5 бал­лов.

Пра­виль­ный ответ без объ­яс­не­ния — 1 балл.


Аналоги к заданию № 5816: 5827 Все