На доске записаны 10 чисел: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 11, 12, 13. С ними можно производить операции двух типов: либо из любых девяти из них вычесть 1, а к оставшемуся прибавить 9, либо наоборот, из одного вычесть 9, а к остальным прибавить по 1. При этом отрицательные числа получать нельзя. Можно ли, применив несколько таких операций, сделать все десять чисел разными?
Заметим, что при любой из описанных операций разность между любыми двумя написанными числами либо не изменяется, либо изменяется на 10. Разобьём все числа на 5 пар: 1 и 11, 2 и 12, 3 и 13, 4 и 4, 5 и 5, разности чисел в каждой паре равны 0 или 10. Если после нескольких операций все числа станут разными, то разности чисел в каждой паре станут не меньше 10.
Меньшие числа в парах будут не меньше 0, 1, 2, 3, 4, большие числа в парах не меньше 10, 11, 12, 13, 14 и сумма всех полученных чисел будет не меньше
Однако сумма исходных чисел равна 60, и при каждой операции она, очевидно, не меняется, поэтому сумма полученных чисел тоже должна равняться 60 — противоречие.
Ответ: нет.