Пусть a и b  — числа, сто­я­щие слева и спра­ва от кур­со­ра со­от­вет­ствен­но, и число b со­сто­ит из n цифр. Тогда по усло­вию де­лит­ся на 7. Если между чис­ла­ми a и b вста­вить одну цифру x, то по­лу­чим число Можно по­до­брать эту цифру так, чтобы это число также де­ли­лось на 7, так как при такие числа имеют раз­лич­ные остат­ки при де­ле­нии на 7. По ин­дук­ции до­ка­жем, что если вста­вить m цифр x, то по­лу­чив­ше­е­ся число также будет де­лить­ся на 7 База ин­дук­ции про­ве­ре­на выше. Для шага ин­дук­ции до­ста­точ­но до­ка­зать, что раз­ность

де­лит­ся на 7, где озна­ча­ет число, со­став­лен­ное из по­сле­до­ва­тель­но при­пи­сан­ных друг к другу за­пи­сей чисел (цифр) a и b. Эта раз­ность при не­ко­то­ром равна

и имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 7, что и число

а по­след­нее де­лит­ся на 7 по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть а и b  — те Же, что и в пер­вом спо­со­бе. После встав­ки m цифр x по­лу­чен­ное число имеет вид

Под­бе­рем цифру x так, чтобы при любом это число де­ли­лось на 7. Вы­чтем из него по усло­вию де­ля­ще­е­ся на 7 число По­лу­чим число

Цифру x можно по­до­брать в за­ви­си­мо­сти от остат­ка от де­ле­ния числа a на 7 так, чтобы число а зна­чит и де­ли­лось на 7. Это со­от­вет­ствие можно ука­зать явно с по­мо­щью сле­ду­ю­щей таб­ли­цы: