РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3694 Добавить в вариант

Найти все принадлежащие первой четверти решения системы

$система выражений синус альфа умножить на косинус бета = синус 2020 гамма , косинус альфа умножить на синус бета = косинус 2020 гамма . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим:

$система выражений синус в квадрате альфа умножить на косинус в квадрате бета = синус в квадрате 2020 гамма , косинус в квадрате альфа умножить на синус в квадрате бета = косинус в квадрате 2020 гамма конец системы . \Rightarrow синус в квадрате альфа умножить на косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате альфа умножить на синус в квадрате бета =1 .$

Таким образом,

$1= синус в квадрате альфа умножить на косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате альфа умножить на синус в квадрате бета меньше или равно синус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате альфа =1,$

и неравенство является равенством, значит,

$совокупность выражений синус в квадрате бета = косинус в квадрате альфа =1, косинус в квадрате бета = синус в квадрате альфа =1, конец совокупности .$

то есть

$совокупность выражений бета = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , альфа =0, бета =0, альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Подставляя в исходные уравнения, получим следующие решения:

$левая квадратная скобка \beginalign альфа =0, бета = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , гамма = дробь: числитель: Пи k , знаменатель: 2020 конец дроби при k=0, \ldots, 1010; альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , бета =0, гамма = дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n правая круглая скобка , знаменатель: 2020 конец дроби при n=0, \ldots, 2019. \endarray.$

Ответ: $левая квадратная скобка \beginalign альфа =0, бета = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , гамма = дробь: числитель: Пи k , знаменатель: 2020 конец дроби при k=0, \ldots, 1010; альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , бета =0, гамма = дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n правая круглая скобка , знаменатель: 2020 конец дроби при n=0, \ldots, 2019. \endarray.$

Аналоги к заданию № 3694: 3748 3756 3764 Все

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь