РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3116 Добавить в вариант

Решите уравнение

$дробь: числитель: 2tg в степени 4 6x плюс 4 синус 4x синус 8x минус косинус 8x минус косинус 16x плюс 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x конец аргумента конец дроби =0.$

Спрятать решение

Решение.

При условии $косинус x минус корень из 3 синус x больше 0$ находим корни уравнения

$2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 4 синус 4 x синус 8 x минус косинус 8 x минус косинус 16 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 4 синус 4 x синус 8 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 4 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 8 x плюс 2=0 равносильно 2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 2 левая круглая скобка синус 4 x плюс синус 8 x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно система выражений тангенс 6 x=0, синус 4 x плюс синус 8 x=0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 6 конец дроби , совокупность выражений косинус 2 x=0, синус 6 x=0 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 6 конец дроби , n принадлежит Z , совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 6 конец дроби , l принадлежит Z , конец системы . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 6 конец дроби , l принадлежит Z .$ $2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 4 синус 4 x синус 8 x минус косинус 8 x минус косинус 16 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 4 синус 4 x синус 8 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 4 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 8 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 2 левая круглая скобка синус 4 x плюс синус 8 x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно система выражений тангенс 6 x=0, синус 4 x плюс синус 8 x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 6 конец дроби , совокупность выражений косинус 2 x=0, синус 6 x=0 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 6 конец дроби , n принадлежит Z , совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 6 конец дроби , l принадлежит Z , конец системы . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 6 конец дроби , l принадлежит Z .$ $2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 4 синус 4 x синус 8 x минус косинус 8 x минус косинус 16 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 4 синус 4 x синус 8 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 4 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 8 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 2 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 6 x плюс 2 левая круглая скобка синус 4 x плюс синус 8 x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно система выражений тангенс 6 x=0, синус 4 x плюс синус 8 x=0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 6 конец дроби , совокупность выражений косинус 2 x=0, синус 6 x=0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 6 конец дроби , n принадлежит Z , совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 6 конец дроби , l принадлежит Z , конец системы . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 6 конец дроби , l принадлежит Z .$

С учетом условия $косинус x минус корень из 3 синус x больше 0$ окончательно имеем:

$x=2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad n принадлежит Z .$ $x=2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad$
$\quad x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \quad n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи : n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3014: 3116 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + иррациональности, Методы алгебры. Выделение полного квадрата, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь