РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3014 Добавить в вариант

Решите уравнение

$дробь: числитель: 4tg в степени 4 8x плюс 4 синус 2x синус 6x минус косинус 4x минус косинус 12x плюс 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус x минус синус x конец аргумента конец дроби =0.$

Спрятать решение

Решение.

При условии $косинус x минус синус x больше 0$ находим корни уравнения

$4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 4 синус 2 x синус 6 x минус косинус 4 x минус косинус 12 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 4 синус 2 x синус 6 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 2 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 6 x плюс 2=0 равносильно 4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 2 левая круглая скобка синус 2 x плюс синус 6 x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно система выражений тангенс 8 x=0, синус 2 x плюс синус 6 x=0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 8 конец дроби , совокупность выражений косинус 2 x=0, синус 4 x=0 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 8 конец дроби , n принадлежит Z , совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 4 конец дроби , l принадлежит Z , конец системы . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 4 конец дроби , l принадлежит Z .$ $4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 4 синус 2 x синус 6 x минус косинус 4 x минус косинус 12 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 4 синус 2 x синус 6 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 2 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 6 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 2 левая круглая скобка синус 2 x плюс синус 6 x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно система выражений тангенс 8 x=0, синус 2 x плюс синус 6 x=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 8 конец дроби , совокупность выражений косинус 2 x=0, синус 4 x=0 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 8 конец дроби , n принадлежит Z , совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 4 конец дроби , l принадлежит Z , конец системы . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 4 конец дроби , l принадлежит Z .$ $4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 4 синус 2 x синус 6 x минус косинус 4 x минус косинус 12 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 4 синус 2 x синус 6 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 2 x минус 1 плюс 2 синус в квадрате 6 x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно 4 тангенс в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 8 x плюс 2 левая круглая скобка синус 2 x плюс синус 6 x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно система выражений тангенс 8 x=0, синус 2 x плюс синус 6 x=0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 8 конец дроби , совокупность выражений косинус 2 x=0, синус 4 x=0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 8 конец дроби , n принадлежит Z , совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 4 конец дроби , l принадлежит Z , конец системы . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи l, знаменатель: 4 конец дроби , l принадлежит Z .$

С учетом условия $косинус x минус синус x больше 0$ окончательно имеем $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,$ $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n$ и $x=2 Пи n,$ $n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n; 2 Пи n : n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3014: 3116 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + иррациональности, Методы алгебры. Выделение полного квадрата, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов

Спрятать решение · Помощь