Имеет место один из двух слу­ча­ев.

А)  Пусть оба наи­мень­ших де­ли­те­ля p и q  — про­стые числа. Тогда про­стым будет число r = (n/p + n/q) − (p + q), и pqr = (p + q)(n − pq). По­сколь­ку числа p + q и pq вза­им­но про­сты, по­лу­ча­ем r = p + q, от­ку­да p = 2 и n = 4q. Но тогда в силу вы­бо­ра q по­лу­ча­ем q = 3 и n = 12.

Б)  Пусть наи­мень­шие де­ли­те­ли имеют вид p и p², где p про­стое. Этот слу­чай раз­би­ра­ет­ся ана­ло­гич­но.

За­ме­ча­ние. Воз­мож­на си­ту­а­ция, когда число имеет всего три соб­ствен­ных де­ли­те­ля. Тогда упо­мя­ну­тая в усло­вии раз­ность есть раз­ность между наи­боль­шим и наи­мень­шим из соб­ствен­ных де­ли­те­лей. Но любое число с тремя соб­ствен­ны­ми де­ли­те­ля­ми есть сте­пень про­сто­го p⁴, а раз­ность p³ − p про­стым чис­лом быть не может.

Ответ: 12 (2, 3, 4, 6).