РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2476 Добавить в вариант

В однокруговом турнире по настольному теннису приняло участие 25 человек. Кадый теннисист одержал по 12 побед. Сколько по итогам турнира оказалось троек участников, одервших во встречах между собой ровно по одной победе? Ничьих в теннисе не бывает.

Спрятать решение

Решение.

Назовем циклом такую тройку участников, что во встречах между собой каждый из них одержал по одной победе. Обозначим через x общее количество циклов, а через y  — количество всех троек, не образующих цикла. Тогда $x плюс y$   — общее число различных троек участников, откуда $x плюс y=C_25 в кубе =2300.$

Рассмотрим теперь упорядоченные тройки участников (A, B, C), в которых A победил B, а B выиграл у C. Если теннисисты A, B, C не образуют цикла, их можно упорядочить однозначно, а если образуют  — тремя способами (подходят также циклические перестановки тройки). Значит, общее число упорядоченных троек равно $3 x плюс y.$ С другой стороны, для каждого теннисиста B его партнеров по тройке A и C можно выбрать независимо двенадцатью способами, поскольку B потерпел 12 поражений и одержал 12 побед. Поэтому всего есть $12 умножить на 12 умножить на 25=3600$ упорядоченных троек, откуда $3 x плюс y=3600.$ Таким образом,

$x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3 x плюс y минус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 3600 минус 2300 правая круглая скобка =650 .$

Ответ: 650.

Приведем другое решение. Пусть в турнире участвовало $2 k плюс 1$ теннисистов, и каждый одержал по k побед. Назовем циклом такую тройку участников, что во встречах между собой каждый из них одержал по одной победе. Обозначим через S_k общее количество циклов в турнире с $2 k плюс 1$ участниками. Ясно, что $S_1=1.$ Добавим в турнир с $2 k минус 1$ участниками двух новых теннисистов A и B и посмотрим, на сколько увеличится число циклов. Пусть A выиграл у B. Тогда остальные $2 k минус 1$ участников разобьются на группы из $k минус 1$ и k человек: первая группа проиграла A и выиграла у B, вторая наоборот.

Новые циклы могут быть двух типов:

1)  (A, C, D) или (B, C, D), где C, D отличны от A и B. Если C и D входят в одну группу, то таких циклов быть не может, поскольку и A и и B либо выиграли у C и D, либо проиграли им. Пусть C взят из первой группы, а D  — из второй. Если C выиграл у D, то (A, C, D) образует цикл, а (B, C, D)  — нет. Если же D выиграл у C, то (B, C, D) образует цикл, а (A, C, D)  — нет. Таким образом, пара (C, D) дает ровно один новый цикл, а общее число циклов первого типа равно $левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка k;$

2)  (A, B, C), где C отличен от A и B. Такая тройка будет циклом тогда и только тогда, когда C берется из второй группы. Значит, мы получаем еще k новых циклов.

Из 1) и 2) вытекает, что

$S_k минус S_k минус 1= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка k плюс k=k в квадрате ,$

откуда для любого натурального n

$S_n=S_1 плюс левая круглая скобка S_2 минус S_1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка S_k минус S_k минус 1 правая круглая скобка =1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс \ldots плюс n в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка .$ $S_n=S_1 плюс левая круглая скобка S_2 минус S_1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка S_k минус S_k минус 1 правая круглая скобка =$
$=1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс \ldots плюс n в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 n плюс 1 правая круглая скобка .$

Осталось подставить $n=12.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания, Разное. Турниры

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь