РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2470 Добавить в вариант

В однокруговом турнире по настольному теннису приняло участие 35 человек. По итогам турнира оказалось, что нет такой четверки игроков A, B, C, D, что A выиграл у B, B  — у C, C  — у D, D  — у A. Каково наибольшее количество троек участников, одержавших во встречах между собой ровно по одной победе? Ничьих в теннисе не бывает.

Спрятать решение

Решение.

Назовем циклом такую тройку участников, что во встречах между собой каждый из них одержал по одной победе. Докажем вначале, что ни один теннисист не может входить более чем в один цикл. Договоримся символом $A arrow B$ отмечать факт победы A над B. Пусть нашелся участник C, фигурирующий в двух разных циклах. Эти циклы могут быть двух типов:

1)  (A, B, C) и (C, D, E). Тогда $A arrow D,$ так как иначе

$A arrow B arrow C arrow D arrow A,$

что невозможно. Но в этом случае $A arrow D arrow E arrow C arrow A,$ чего так же быть не может;

2)  (A, B, C) и (B, C, D). Тогда вновь $A arrow D.$ Но в этом случае

$A arrow D arrow B arrow C arrow A,$

что также невозможно. Таким образом, в два цикла теннисист C входить не может.

По доказанному циклы не пересекаются, поэтому их количество не превосходит $левая квадратная скобка дробь: числитель: 35, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка =11.$ Приведем пример турнира с 11 циклами. Разобьем 33 участника на группы по 3 человека и занумеруем эти группы числами от 1 до 11. Пусть каждая группа образует цикл, а во встрече теннисистов, входящих в разные группы, побеждает спортсмен из группы с большим номером. Наконец, оставшиеся два участника побеждают всех остальных. Такой турнир удовлетворяет условию задачи и имеет ровно 11 циклов.

Ответ: 11.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Разное. Оценка плюс пример, Разное. Турниры

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь