РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2392 Добавить в вариант

В шестнадцатеричной системе $x = 788 788 \ldots 788,$ где блок 788 повторяется n раз. Шестнадцатеричное число y получается из x некоторой перестановкой цифр. Оказалось, что шестнадцатеричная запись $x умножить на y$   равна $40 40 \ldots 40.$ При каких n это возможно?

Спрятать решение

Решение.

Договоримся шестнадцатеричные числа писать в скобках, чтобы отличать их от десятичных. Запись $x y$ содержит $3 n$ блоков вида 40, поэтому

$x y=64 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 256 плюс 256 в квадрате плюс \ldots плюс 256 в степени левая круглая скобка 3 n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =64 умножить на дробь: числитель: 256 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 255 конец дроби =64 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 умножить на 5 умножить на 17 конец дроби .$ $x y=64 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 256 плюс 256 в квадрате плюс \ldots плюс 256 в степени левая круглая скобка 3 n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=64 умножить на дробь: числитель: 256 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 255 конец дроби =64 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 умножить на 5 умножить на 17 конец дроби .$

Кроме того, $левая круглая скобка 788 правая круглая скобка =1928,$ откуда

$x=1928 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 16 в кубе плюс 16 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =1928 умножить на дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 4095 конец дроби = дробь: числитель: 8 умножить на 241, знаменатель: 5 умножить на 7 умножить на 9 умножить на 13 конец дроби умножить на левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ $x=1928 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 16 в кубе плюс 16 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=1928 умножить на дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 4095 конец дроби = дробь: числитель: 8 умножить на 241, знаменатель: 5 умножить на 7 умножить на 9 умножить на 13 конец дроби умножить на левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Поделив первое равенство на второе, мы получим

$y= дробь: числитель: x y, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 7 умножить на 8 умножить на 13, знаменатель: 17 умножить на 241 конец дроби умножить на левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2184 умножить на левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4097 конец дроби .$

Так как 2184 и 4097 взаимно просты, на 4097 должно делиться число $16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1,$ поэтому n нечетно. Заметим, что

$дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 4097 конец дроби = левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус 16 в кубе правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка \mathrmFFF000 \ldots \mathrmFFF000 \mathrmFFF001 правая круглая скобка ,$ $дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 4097 конец дроби = левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус 16 в кубе правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка \mathrmFFF000 \ldots \mathrmFFF000 \mathrmFFF001 правая круглая скобка ,$ $дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 4097 конец дроби =$
$= левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 16 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 16 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус 16 в кубе правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка \mathrmFFF000 \ldots \mathrmFFF000 \mathrmFFF001 правая круглая скобка ,$

где блок FFF повторяется $дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ раз. Поскольку $2184= левая круглая скобка 888 правая круглая скобка$ и

$левая круглая скобка \mathrmFFF правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 888 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 888 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 888 правая круглая скобка = левая круглая скобка 888 000 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 888 правая круглая скобка = левая круглая скобка 887 778 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \mathrmFFF правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 888 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 888 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 888 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 888 000 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 888 правая круглая скобка = левая круглая скобка 887 778 правая круглая скобка ,$

мы получаем

$y= левая круглая скобка 887 778 \ldots 887 778 888 правая круглая скобка ,$

где блок из семерок повторяется $дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ раз. Таким образом, в шестнадцатеричную запись y входит $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ семерок. С другой стороны, запись числа x содержит n семерок. Поэтому $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =n,$ откуда $n=3.$ При $n=3$ нам подходит число $y= левая круглая скобка 887 778 888 правая круглая скобка .$

Ответ: $n=3.$

Аналоги к заданию № 2384: 2392 Все

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Различные системы счисления

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь