сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В вось­ме­рич­ной си­сте­ме x = 344 344 \ldots 344, где блок 344 по­вто­ря­ет­ся n раз. Вось­ме­рич­ное число y по­лу­ча­ет­ся из x не­ко­то­рой пе­ре­ста­нов­кой цифр. Ока­за­лось, что вось­ме­рич­ная за­пись x умно­жить на y равна 20 20 \ldots 20. При каких n это воз­мож­но?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­го­во­рим­ся вось­ме­рич­ные числа пи­сать в скоб­ках, чтобы от­ли­чать их от де­ся­тич­ных. За­пись x y со­дер­жит 3 n бло­ков вида 20, по­это­му

 x y=16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 64 плюс 64 в квад­ра­те плюс \ldots плюс 64 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =16 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 64 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 63 конец дроби =16 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 7 умно­жить на 9 конец дроби .

Кроме того,  левая круг­лая скоб­ка 344 пра­вая круг­лая скоб­ка =228, от­ку­да

 x=228 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 8 в кубе плюс 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =228 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 511 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 4 умно­жить на 19, зна­ме­на­тель: 7 умно­жить на 73 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­де­лив пер­вое ра­вен­ство на вто­рое, мы по­лу­чим

 y= дробь: чис­ли­тель: x y, зна­ме­на­тель: x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 73, зна­ме­на­тель: 27 умно­жить на 19 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 292 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 513 конец дроби .

Так как 292 и 513 вза­им­но про­сты, на 513 долж­но де­лить­ся число 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, по­это­му n не­чет­но. За­ме­тим, что

 дробь: чис­ли­тель: 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 513 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1= левая круг­лая скоб­ка 777 000 \ldots 777 000 777 001 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где блок 777 по­вто­ря­ет­ся  дробь: чис­ли­тель: n минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби раз. По­сколь­ку 292= левая круг­лая скоб­ка 444 пра­вая круг­лая скоб­ка и

 левая круг­лая скоб­ка 777 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 444 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 1000 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 444 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 444 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 444 000 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 444 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 443 334 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

мы по­лу­ча­ем

 y= левая круг­лая скоб­ка 443 334 \ldots 44 333 444 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где блок из троек по­вто­ря­ет­ся  дробь: чис­ли­тель: n минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби раз.

Таким об­ра­зом, в вось­ме­рич­ную за­пись y вхо­дит  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка троек. С дру­гой сто­ро­ны, за­пись числа x со­дер­жит n троек. По­это­му  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =n, от­ку­да n=3. При n=3 нам под­хо­дит число y= левая круг­лая скоб­ка 443 334 444 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: n=3.


Аналоги к заданию № 2384: 2392 Все