РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2384 Добавить в вариант

В восьмеричной системе $x = 344 344 \ldots 344,$ где блок 344 повторяется n раз. Восьмеричное число y получается из x некоторой перестановкой цифр. Оказалось, что восьмеричная запись $x умножить на y$ равна $20 20 \ldots 20.$ При каких n это возможно?

Спрятать решение

Решение.

Договоримся восьмеричные числа писать в скобках, чтобы отличать их от десятичных. Запись $x y$ содержит $3 n$ блоков вида 20, поэтому

$x y=16 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 64 плюс 64 в квадрате плюс \ldots плюс 64 в степени левая круглая скобка 3 n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =16 умножить на дробь: числитель: 64 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 63 конец дроби =16 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 7 умножить на 9 конец дроби .$

Кроме того, $левая круглая скобка 344 правая круглая скобка =228,$ откуда

$x=228 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 8 в кубе плюс 8 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 8 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =228 умножить на дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 511 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 4 умножить на 19, знаменатель: 7 умножить на 73 конец дроби умножить на левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Поделив первое равенство на второе, мы получим

$y= дробь: числитель: x y, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 4 умножить на 73, знаменатель: 27 умножить на 19 конец дроби умножить на левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 292 умножить на левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 513 конец дроби .$

Так как 292 и 513 взаимно просты, на 513 должно делиться число $8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1,$ поэтому n нечетно. Заметим, что

$дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка 3 n правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 513 конец дроби = левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 8 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус 8 в кубе правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка 777 000 \ldots 777 000 777 001 правая круглая скобка ,$

где блок 777 повторяется $дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ раз. Поскольку $292= левая круглая скобка 444 правая круглая скобка$ и

$левая круглая скобка 777 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 444 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1000 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 444 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 444 правая круглая скобка = левая круглая скобка 444 000 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 444 правая круглая скобка = левая круглая скобка 443 334 правая круглая скобка ,$

мы получаем

$y= левая круглая скобка 443 334 \ldots 44 333 444 правая круглая скобка ,$

где блок из троек повторяется $дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ раз.

Таким образом, в восьмеричную запись y входит $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ троек. С другой стороны, запись числа x содержит n троек. Поэтому $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =n,$ откуда $n=3.$ При $n=3$ нам подходит число $y= левая круглая скобка 443 334 444 правая круглая скобка .$

Ответ: $n=3.$

Аналоги к заданию № 2384: 2392 Все

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Различные системы счисления

Спрятать решение · Помощь