сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 2336
i

Най­ди­те все пары про­стых чисел p и q, для ко­то­рых  p в квад­ра­те плюс pq плюс q в квад­ра­те   яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если p=q, то p в квад­ра­те плюс p q плюс q в квад­ра­те =3 p в квад­ра­те , что не может быть точ­ным квад­ра­том, по­сколь­ку 3 p в квад­ра­те либо равно 27, либо де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, p не равно q q. Пусть q=2. Тогда

 левая круг­лая скоб­ка p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше p в квад­ра­те плюс p q плюс q в квад­ра­те мень­ше левая круг­лая скоб­ка p плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те

и, зна­чит, p в квад­ра­те плюс p q плюс q в квад­ра­те не яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том. Стало быть, p и q  — раз­лич­ные не­чет­ные про­стые. Будем счи­тать, что p мень­ше q.

Пусть p в квад­ра­те плюс p q плюс q в квад­ра­те =n в квад­ра­те . Обо­зна­чим для удоб­ства k=p плюс q. Тогда

 левая круг­лая скоб­ка k минус n пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка k плюс n пра­вая круг­лая скоб­ка =k в квад­ра­те минус n в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка p плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка p в квад­ра­те плюс p q плюс q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =p q

то есть pq яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем двух на­ту­раль­ных чисел. По­это­му либо k минус n=1 и k плюс n=p q, либо k минус n=p и k плюс n=q. Вто­рой слу­чай не­воз­мо­жен, так как k плюс n=p плюс q плюс n боль­ше q. Тогда

2 левая круг­лая скоб­ка p плюс q пра­вая круг­лая скоб­ка =2 k= левая круг­лая скоб­ка k плюс n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка k минус n пра­вая круг­лая скоб­ка =p q минус 1.

Стало быть,

 левая круг­лая скоб­ка p минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка q минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =p q минус 2 p минус 2 q плюс 4=3.

Но p боль­ше или равно 3 и q боль­ше или равно 5, по­это­му p=3 и q=5. Этот ва­ри­ант под­хо­дит:

3 в квад­ра­те плюс 3 умно­жить на 5 плюс 5 в квад­ра­те =49=7 в квад­ра­те .

Ответ: p=3 и q=5 или p=5 и q=3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Общая схема:

0 бал­лов  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник к ре­ше­нию за­да­чи не при­сту­пал или на­ча­тый ход ре­ше­ния пол­но­стью не­ве­рен;

1 балл  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник при­сту­пил к ре­ше­нию за­да­чи, ука­зал вер­ное на­прав­ле­ние ре­ше­ния за­да­чи и по­лу­чил пра­виль­ные про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, но при этом не про­дви­нул­ся на­столь­ко, чтобы можно было су­дить о том, каким об­ра­зом он со­би­рал­ся по­лу­чить окон­ча­тель­ный ответ (то есть весь ход ре­ше­ния не пред­став­лен);

2 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если вы­бран­ный участ­ни­ком ход ре­ше­ния за­да­чи яв­ля­ет­ся в прин­ци­пе пра­виль­ным, но при этом участ­ник не смог его ре­а­ли­зо­вать в силу серьёзных оши­бок;

3 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если ре­ше­ние яв­ля­ет­ся в целом пра­виль­ным, но со­дер­жит ошиб­ки, по­вли­яв­шие на ответ;

4 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник решил за­да­чу в целом пра­виль­но и по­лу­чил вер­ный ответ; при этом в ре­ше­нии до­пус­ка­ют­ся не­зна­чи­тель­ные не­точ­но­сти.

 

Фак­то­ры, вли­я­ю­щие на оцен­ку.

1.  Одна из ос­нов­ных целей Олим­пи­а­ды  — вы­яв­ле­ние у обу­ча­ю­щих­ся твор­че­ских спо­соб­но­стей. По­это­му в слу­чае пред­став­ле­ния участ­ни­ком ин­те­рес­но­го ори­ги­наль­но­го под­хо­да к ре­ше­нию за­да­чи, оцен­ка за ре­ше­ние может быть уве­ли­че­на на 1 балл.

2.  Пра­виль­ный ответ к за­да­че, при­ве­ден­ный без до­ста­точ­ных обос­но­ва­ний, либо при на­ли­чии оши­бок в ре­ше­нии, либо при от­сут­ствии ре­ше­ния, не ведёт к уве­ли­че­нию оцен­ки, ко­то­рая вы­став­ля­ет­ся участ­ни­ку за дан­ную за­да­чу.

3.  Если участ­ник не довел за­да­чу до от­ве­та, то ито­го­вая оцен­ка за дан­ную за­да­чу не может пре­вы­шать 1 балл.

4.  Если за­да­ча ре­ше­на пе­ре­бо­ром воз­мож­ных ва­ри­ан­тов, и при этом пе­ре­бор не­пол­ный, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 1 балла. Если участ­ник по­до­брал част­ное ре­ше­ние без обос­но­ва­ния и про­ве­рил его пра­виль­ность, то в этом слу­чае за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 0,5 бал­лов.

5.  Если за­да­ча ре­ше­на при до­пол­ни­тель­ном пред­по­ло­же­нии, ко­то­рое от­сут­ству­ет в усло­вии, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся

а)  до 1 балла, если это пред­по­ло­же­ние можно до­ка­зать;

б)  до 0,5 бал­лов, если оно не обя­за­но вы­пол­нять­ся, но не про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи;

в)  0 бал­лов, если оно про­ти­во­ре­чит усло­вию.

6.  Если в ра­бо­те при­ве­де­ны два ре­ше­ния или от­ве­та к одной за­да­че, про­ти­во­ре­ча­щие друг другу, то за за­да­чу ста­вит­ся 0 бал­лов.