РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2052 Добавить в вариант

В шахматном кружке занимаются мальчики и девочки. Их разбили на группы по 6 человек, при чем в каждой группе есть и девочки и мальчики. В каждой группе прошел круговой турнир, каждый сыграл по одной партии с каждым из остальных членов той же группы, других игр не было. Может ли при этом число партий между мальчиками быть на 23 больше числа партий между девочками?

Спрятать решение

Решение.

Число мальчиков в каждой группе может принимать значения $k=1, 2, 3, 5 .$ Рассмотрим следующие величины: $N_k$   — число групп, в которых по k мальчиков и $левая круглая скобка 5 минус k правая круглая скобка$ девочек: $m_k$   — число игр между мальчиками в группе, содержащей ровно k мальчиков; $g_k$   — число игр между девочками в группе, содержащей ровно k мальчиков. При этом

$m_k= дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби , \text если k=2, 3, 4,5;$

$g_k= дробь: числитель: левая круглая скобка 6 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби , \text если k=1, 2, 3, 4;$

$m_1=g_5=0.$

Занесем эти данные в таблицу.

Тогда

$N левая круглая скобка m m правая круглая скобка минус N левая круглая скобка g g правая круглая скобка = минус 10 N_1 плюс левая круглая скобка 1 минус 6 правая круглая скобка N_2 плюс левая круглая скобка 6 минус 1 правая круглая скобка N_4 плюс 10 N_5$

кратно 5 и не может быть равно 22 или 23. Далее,

$N левая круглая скобка m правая круглая скобка =N левая круглая скобка m m правая круглая скобка плюс N левая круглая скобка m g правая круглая скобка , N левая круглая скобка g правая круглая скобка =N левая круглая скобка g g правая круглая скобка плюс N левая круглая скобка m g правая круглая скобка ,$

$N левая круглая скобка m правая круглая скобка минус N левая круглая скобка g правая круглая скобка =N левая круглая скобка m m правая круглая скобка минус N левая круглая скобка g g правая круглая скобка .$

кратно 5 и не может быть равно 28 или −4.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Разное. Логические задачи, Разное. Турниры

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь