сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Су­ще­ству­ет ли вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, име­ю­щий 2015 диа­го­на­лей?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Число диа­го­на­лей вы­пук­ло­го n-уголь­ник а равно

 дробь: чис­ли­тель: n левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус n= дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те минус 3 n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Решим урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: n в квад­ра­те минус 3 n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2015 рав­но­силь­но n в квад­ра­те минус 3 n минус 4030=0.

Его дис­кри­ми­нант

D=9 плюс 4 умно­жить на 4030=16 129 .

За­ме­тим, что

120 в квад­ра­те мень­ше 16 129 мень­ше 130 в квад­ра­те

и D за­кан­чи­ва­ет­ся циф­рой 9. Если D яв­ля­ет­ся квад­ра­том це­ло­го числа m, то m за­кан­чи­ва­ет­ся циф­рой 3 или 7, т. е. воз­мож­ны толь­ко два ва­ри­ан­та: m=123 или m=127 . Легко про­ве­ря­ет­ся, что

123 в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 120 плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те не равно q 16 129,

127 в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 130 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16 900 плюс 9 минус 2 умно­жить на 3 умно­жить на 130=16 129 .

От­сю­да n= дробь: чис­ли­тель: 3 \pm 127, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Вы­би­рая по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние, по­лу­ча­ем n=65 . Таким об­ра­зом, ука­зан­ный мно­го­уголь­ник су­ще­ству­ет, это 65-уголь­ник.

 

Ответ: да, это 65-уголь­ник.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

1.  Про­вер­ку и оце­ни­ва­ние работ про­во­дит Жюри Олим­пи­а­ды.

2.  За­да­ча оце­ни­ва­ет­ся по 10-балль­ной шкале и снаб­жа­ет­ся от­мет­кой в ра­бо­те 0, −, ∓, ±, + в со­от­вет­ствии с кри­те­ри­я­ми.

 

Вид по­греш­но­сти или ошиб­киОт­мет­ка в ра­бо­теБаллы
Ре­ше­ние за­да­чи вер­ное, вы­бран ра­ци­о­наль­ный путь ре­ше­ния+10
Ре­ше­ние вер­ное, но путь не ра­ци­о­на­лен или име­ют­ся один  — три не­до­че­та или не­гру­бая ошиб­ка+9
Ре­ше­ние вер­ное, но путь не ра­ци­о­на­лен и име­ют­ся один  — три не­до­че­та или не­гру­бая ошиб­ка±7−8
Ход ре­ше­ния вер­ный, но есть не­сколь­ко не­гру­бых оши­бок или ре­ше­ние не за­вер­ше­но5−6
До­пу­ще­ны гру­бые ошиб­ки, но ответ по­лу­чен (не­вер­ный) 3−4
До­пу­ще­ны гру­бые ошиб­ки и ответ не по­лу­чен либо ре­ше­ние лишь на­ча­то, то что на­ча­то  — без оши­бок2
Ре­ше­ние на­ча­то, но про­дви­же­ние ни­че­го не дает для ре­зуль­та­та1
За­да­ча не ре­ши­лась00

 

Не­до­че­ты  — не­зна­чи­тель­ные (не­прин­ци­пи­аль­ные) ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки.

Не­гру­бые ошиб­ки  — тех­ни­че­ские ошиб­ки в при­ме­не­нии фор­мул и тео­рем, не вли­я­ю­щие на смысл ре­ше­ния; не­обос­но­ван­ность ло­ги­че­ских (вер­ных) вы­во­дов.

Гру­бые ошиб­ки.

I.  Ло­ги­че­ские, при­во­дя­щие к не­вер­но­му за­клю­че­нию.

II.  Ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, ис­ка­жа­ю­щие смысл от­ве­та.

III.  Не­вер­ный чер­теж в гео­мет­ри­че­ских за­да­чах.

IV.  Прин­ци­пи­аль­ные ошиб­ки в при­ме­не­нии эле­мен­тар­ных фор­мул и тео­рем.

3.  Ре­ше­ние, при­ве­ден­ное в чер­но­ви­ке или вы­пол­нен­ное ка­ран­да­шом, не про­ве­ря­ет­ся и не оце­ни­ва­ет­ся.

4.  По окон­ча­нии про­вер­ки под­счи­ты­ва­ет­ся сум­мар­ная оцен­ка ра­бо­ты как сумма оце­нок за за­да­чи 1−5 с весом 2.

5.  Сум­мар­ная оцен­ка про­став­ля­ет­ся на ра­бо­ту и под­твер­жда­ет­ся под­пи­сью члена Жюри.