PDF-версии: 
Существует ли выпуклый многоугольник, имеющий 2015 диагоналей?
Решение. Число диагоналей выпуклого n-угольник а равно
Решим уравнение
Его дискриминант
Заметим, что
и D заканчивается цифрой 9. Если D является квадратом целого числа m, то m заканчивается цифрой 3 или 7, т. е. возможны только два варианта: 
или 
Легко проверяется, что
Отсюда 
Выбирая положительное значение, получаем 
Таким образом, указанный многоугольник существует, это 65-угольник.
Ответ: да, это 65-угольник.
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.