РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 1979 Добавить в вариант

3.1 Пусть a  =  4, b  =  9. Докажите, что искомая пара найдётся.

Сюжет 3.

В этом сюжете разрешается использовать (без обоснования) так называемую малую теорему Ферма, гласящую, что для всякого целого числа а и простого натурального числа p справедливо соотношение «a−a^p делится на p без остатка».

Итак, $p больше 2$   — простое число. Маша должна понять, есть ли среди чисел

$a в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ $\quad a в квадрате плюс b в квадрате ,$ $\quad \ldots,$ $\quad a в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка$

значения, дающие одинаковые остатки от деления на p.

Спрятать решение

Решение.

По МТФ $4 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка \equiv 2,$ но в то же время и

$4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 9 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка \equiv 2.$

Олимпиада Юношеской математической школы, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Помощь

Тип 21 № 1980 Добавить в вариант

3.2 Пусть a  =  4, b  =  3. Докажите, что найдётся искомая пара, содержащая одно из крайних чисел.

Решение · Помощь