Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Биссектрисы BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке I. На продолжениях отрезков BB1 и CC1 отмечены точки B′ и C′ соответственно так, что четырехугольник AB′IC′ — параллелограмм. Докажите, что если 
то прямая B′C′ проходит через точку пересечения описанных окружностей треугольников BC1B′ и CB1C′.
Решение.
Заметим, что
поэтому сумма углов 
и 
равна 
Отметим на отрезке 
такую точку P, что 
и 
Из этих двух равенств следует, что четырехугольники 
и 
вписанные. Теперь
что означает вписанность четырехугольника 
Аналогично, вписан и 
Таким образом, указанные в условии окружности пересекаются именно в точке P.