РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1704 Добавить в вариант

В восьмиугольнике COMPUTER, изображенном на рисунке, все внутренние углы равны 90° или 270°, а также

$CO=OM=MP=PU=UT=TE= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Внутри отрезков TE и CR отмечены точки A и B соответственно так, что площади частей, на который отрезок AB разбивает восьмиугольник, равны. Найдите разность периметров этих частей.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $C O=a= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и отрезок AB делит восьмиугольник на две равновеликие части, причём $A E=x.$ Заметим, что $E R=C R=3 a,$ а площадь восьмиугольника равна 6, значит, площадь трапеции AERB равна $3 a в квадрате .$ С другой стороны,

$S_A E R B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка A E плюс B R правая круглая скобка умножить на E R= дробь: числитель: 3 a, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс B R правая круглая скобка ,$

откуда $B R=2 a минус x,$ $B C=x плюс a,$ $A T=a минус x.$ Значит,

$P_BCOMPUTA минус P_AERB= левая круглая скобка x плюс a плюс 5 a плюс a минус x плюс A B правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 a плюс 2 a минус x плюс A B правая круглая скобка =2 a=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \approx 2,83 .$ $P_BCOMPUTA минус P_AERB= левая круглая скобка x плюс a плюс 5 a плюс a минус x плюс A B правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 a плюс 2 a минус x плюс A B правая круглая скобка =$
$=2 a=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \approx 2,83 .$ $P_BCOMPUTA минус P_AERB=$
$= левая круглая скобка x плюс a плюс 5 a плюс a минус x плюс A B правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 a плюс 2 a минус x плюс A B правая круглая скобка =$
$=2 a=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \approx 2,83 .$

Ответ: $2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента \approx 2,83 .$

Аналоги к заданию № 1704: 1705 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 9 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Произвольные многоугольники

Спрятать решение · Помощь