сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дано число 800 ... 008 (80 нулей). Тре­бу­ет­ся за­ме­нить не­ко­то­рые два нуля на не­ну­ле­вые цифры так, чтобы после за­ме­ны по­лу­чи­лось число, де­ля­ще­е­ся на 198. Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми это можно сде­лать?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­ча­ем, что 198=2 умно­жить на 9 умно­жить на 11. Де­ли­мость на 2 вы­пол­не­на в любом слу­чае, так как число окан­чи­ва­ет­ся восьмёркой. Для ис­сле­до­ва­ния де­ли­мо­сти на 11 су­ще­ствен­но, на каких по­зи­ци­ях стоят за­ме­ня­е­мые цифры.

Пер­вый слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах одной чётно­сти (оба чётные или оба нечётные). Для де­ли­мо­сти на 11 нужно, чтобы сумма двух новых цифр де­ли­лась на 11, а так как каж­дая цифра за­клю­че­на в пре­де­лах [1; 9], то сумма долж­на быть равна 11. За­ме­тим, что де­ли­мость на 9 при этом ав­то­ма­ти­че­ски вы­пол­ня­ет­ся (сумма цифр числа равна 16 плюс 11=27 пра­вая круг­лая скоб­ка . Под­хо­дят сле­ду­ю­щие пары цифр: 2−−9, 3−−8, 4−−7, 5−−6. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство спо­со­бов осу­ще­ствить за­ме­ну. Сна­ча­ла вы­би­ра­ем одну из этих четырёх пар цифр (4 спо­со­ба), затем ста­вим мень­шую цифру на место лю­бо­го из нулей (80 спо­со­бов); на­ко­нец на место той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (39 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит 4 умно­жить на 80 умно­жить на 39=12 480 спо­со­бов. той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (39 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит

4 умно­жить на 80 умно­жить на 39=12 480 спо­со­бов.

Вто­рой слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах раз­ной чётно­сти. Тогда для де­ли­мо­сти на 11 тре­бу­ет­ся, чтобы эти цифры были оди­на­ко­вы­ми (обо­зна­чим каж­дую из них через k), а для де­ли­мо­сти на 9 надо, чтобы 16 плюс 2 k: 9 . Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко k=1. Такая за­ме­на может быть осу­ществ­ле­на 40 умно­жить на 40=1600 спо­со­ба­ми (вы­би­ра­ем одно из пя­ти­де­ся­ти чётных мест и одно из пя­ти­де­ся­ти нечётных). В сумме по­лу­ча­ем

12480 плюс 1600=14 080 спо­со­бов.

Ответ: 14 080.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Изу­че­на де­ли­мость на 2 или 5 — баллы не до­бав­ля­ют­ся.

Слу­чай цифр на ме­стах раз­ной част­но­сти — 3 балла.

По­лу­че­но, что эти цифры оди­на­ко­вые (ис­поль­зо­ван при­знак де­ли­мо­сти на 11) — 1 балл.

Най­де­ны эти цифры (ис­поль­зо­ван при­знак де­ли­мо­сти на 3 или 9) — 1 балла.

Сде­лан вер­ный ком­би­на­тор­ный под­счет — 1 балл.


Аналоги к заданию № 1250: 1257 Все