сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  До­ка­жи­те, что если каж­дая из сред­них линий че­ты­рех­уголь­ни­ка делит его на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, то этот че­ты­рех­уголь­ник па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те наи­боль­шую пло­щадь тени при ор­то­го­наль­ной про­ек­ции на плос­кость пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния равна еди­ни­це, а бо­ко­вое ребро  — двум.

в)  До­ка­жи­те, что если a_i боль­ше 0, a_ic_i боль­ше или равно b_i в квад­ра­те (i  =  1, 2, 3), то

левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 плюс a_3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c_1 плюс c_2 плюс c_3 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant левая круг­лая скоб­ка b_1 плюс b_2 плюс b_3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­ка­жи­те, что если каж­дая из сред­них линий че­ты­рех­уголь­ни­ка делит его на два рав­но­ве­ли­ких че­ты­рех­уголь­ни­ка, то этот че­ты­рех­уголь­ник па­рал­ле­ло­грамм.

До­пу­стим, что AB\cap CD=E, при­чем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если про­дол­же­ния сто­рон пе­ре­се­ка­ют­ся с дру­гой сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка, пе­ре­обо­зна­чим вер­ши­ны). Пусть также M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на CD, AM=MB=x, DN=NC=y, BE=a, CE=b, \angle BEC= альфа . По усло­вию S_AMND=S_BMNC и S_AED минус S_EMN=S_EMN минус S_BEC, тогда

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AE умно­жить на ED синус альфа минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби EM умно­жить на EN синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби EM умно­жить на EN синус альфа минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби EB умно­жить на EC синус альфа .

Решим AE умно­жить на ED минус EM умно­жить на EN=EM умно­жить на EN минус EB умно­жить на EC, от­сю­да

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс 2y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ab=2 левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ab плюс 2xb плюс 2ay плюс 4xy плюс ab=2ab плюс 2xb плюс 2ay плюс 2xy рав­но­силь­но 2xy=0.

Про­ти­во­ре­чие.

Зна­чит на самом деле AB па­рал­лель­на CD. Ана­ло­гич­но из ра­вен­ства дру­гих пло­ща­дей по­лу­чим AD па­рал­лель­ную BC, по­это­му ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те наи­боль­шую пло­щадь тени при ор­то­го­наль­ной про­ек­ции на плос­кость пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния равна еди­ни­це, а бо­ко­вое ребро  — двум. До­ка­жем, что ответ 1.

Про­ек­ция пи­ра­ми­ды будет либо тре­уголь­ни­ком, либо че­ты­рех­уголь­ни­ком. Если это тре­уголь­ник, то он яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей одной из гра­ней, по­это­му его пло­щадь не боль­ше пло­ща­ди этой грани. Пло­щадь ос­но­ва­ния равна дробь: чис­ли­тель: 1 в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 1, а пло­щадь бо­ко­вой грани мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на 2=1 (по­сколь­ку апо­фе­ма не боль­ше бо­ко­во­го ребра).

Если же это че­ты­рех­уголь­ник, то его диа­го­на­ли яв­ля­ют­ся про­ек­ци­я­ми скре­щи­ва­ю­щих­ся ребер пи­ра­ми­ды, по­это­му их длины не боль­ше 1 и 2, а тогда пло­щадь не пре­вос­хо­дит по­ло­ви­ны про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей и не боль­ше еди­ни­цы.

С дру­гой сто­ро­ны, в пра­виль­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но скре­щи­ва­ю­ще­му­ся с ней ребру ос­но­ва­ния. Возь­мем плос­кость, па­рал­лель­ную этим двум реб­рам, тогда длины про­ек­ций будут равны дли­нам ребер и про­ек­ции будут пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу, зна­чит, пло­щадь будет в точ­но­сти дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на 2=1.

 

Ответ: 1.

 

в)  Решим за­да­чу для про­из­воль­но­го числа n чисел a_i, b_i, c_i. Вве­дем квад­рат­ные трех­чле­ны q_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a_ix в квад­ра­те плюс 2b_ix плюс c_i, i=1, 2, \ldots, n. Так как по усло­вию a_i боль­ше 0 и a_ic_i боль­ше или равно b_i в квад­ра­те , то q_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0 при всех x при­над­ле­жит \Bbb R. Зна­чит,

\sum_i=1 в сте­пе­ни n q_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2 левая круг­лая скоб­ка \sum_i=1 в сте­пе­ни n b_i пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс \sum_i=1 в сте­пе­ни n c_i\geqslant0,

от­ку­да и сле­ду­ет не­ра­вен­ство \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i\sum_i=1 в сте­пе­ни n c_i\geqslant\sum_i=1 в сте­пе­ни n b_i в квад­ра­те .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024