РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.

б)  Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро  — двум.

в)  Докажите, что если $a_i больше 0,$ $a_ic_i больше или равно b_i в квадрате$ (i  =  1, 2, 3), то

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 правая круглая скобка левая круглая скобка c_1 плюс c_2 плюс c_3 правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка b_1 плюс b_2 плюс b_3 правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. а)  Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих четырехугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.

Допустим, что $AB\cap CD=E,$ причем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если продолжения сторон пересекаются с другой стороны четырехугольника, переобозначим вершины). Пусть также M  — середина AB, N  — середина CD, $AM=MB=x,$ $DN=NC=y,$ $BE=a,$ $CE=b,$ $\angle BEC= альфа .$ По условию $S_AMND=S_BMNC$ и $S_AED минус S_EMN=S_EMN минус S_BEC,$ тогда

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AE умножить на ED синус альфа минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби EM умножить на EN синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби EM умножить на EN синус альфа минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби EB умножить на EC синус альфа .$

Решим $AE умножить на ED минус EM умножить на EN=EM умножить на EN минус EB умножить на EC,$ отсюда

$левая круглая скобка a плюс 2x правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 2y правая круглая скобка плюс ab=2 левая круглая скобка a плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс y правая круглая скобка равносильно$

$равносильно ab плюс 2xb плюс 2ay плюс 4xy плюс ab=2ab плюс 2xb плюс 2ay плюс 2xy равносильно 2xy=0.$

Противоречие.

Значит на самом деле AB параллельна CD. Аналогично из равенства других площадей получим AD параллельную BC, поэтому ABCD  — параллелограмм.

Проекция пирамиды будет либо треугольником, либо четырехугольником. Если это треугольник, то он является проекцией одной из граней, поэтому его площадь не больше площади этой грани. Площадь основания равна $дробь: числитель: 1 в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби меньше 1,$ а площадь боковой грани меньше $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 умножить на 2=1$ (поскольку апофема не больше бокового ребра).

Если же это четырехугольник, то его диагонали являются проекциями скрещивающихся ребер пирамиды, поэтому их длины не больше 1 и 2, а тогда площадь не превосходит половины произведения диагоналей и не больше единицы.

С другой стороны, в правильной пирамиде боковое ребро перпендикулярно скрещивающемуся с ней ребру основания. Возьмем плоскость, параллельную этим двум ребрам, тогда длины проекций будут равны длинам ребер и проекции будут перпендикулярны друг другу, значит, площадь будет в точности $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 умножить на 2=1.$

Ответ: 1.

в)  Решим задачу для произвольного числа n чисел $a_i, b_i, c_i.$ Введем квадратные трехчлены $q_i левая круглая скобка x правая круглая скобка =a_ix в квадрате плюс 2b_ix плюс c_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ Так как по условию $a_i больше 0$ и $a_ic_i больше или равно b_i в квадрате ,$ то $q_i левая круглая скобка x правая круглая скобка \geqslant0$ при всех $x принадлежит \Bbb R.$ Значит,

$\sum_i=1 в степени n q_i левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка \sum_i=1 в степени n a_i правая круглая скобка x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка \sum_i=1 в степени n b_i правая круглая скобка x плюс \sum_i=1 в степени n c_i\geqslant0,$

откуда и следует неравенство $\sum_i=1 в степени n a_i\sum_i=1 в степени n c_i\geqslant\sum_i=1 в степени n b_i в квадрате .$

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1016	1.

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ