Восьмизначное натуральное число A, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа B перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число B взаимно просто с числом 36 и 
Найти наибольшее и наименьшее из чисел A, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы).
Решение. Очевидно, что последняя цифра числа B не может быть нулем, так как при перестановке она становится первой цифрой числа A. В разложении 36 на простые множители присутствуют только числа 2 и 3, поэтому число B будет взаимно простым с 36 в том и только том случае, если оно не делится ни на 2, ни на 3.
Если b — последняя цифра числа B, то число
(ясно, что 
делится на 10).
Очевидно, что чем больше последняя цифра числа B, тем большее число A ему соответствует. Для того чтобы A было наибольшим, необходимо, чтобы последняя цифра числа B принимала наибольшее возможное значение, т. е. 
Если B' и B оканчиваются на 9 и 
то
Значит, чем больше число B, тем большее число A ему соответствует (для чисел B, оканчивающихся девяткой).
Наибольшее возможное значение B равно 99 999 999. Это число не делится на 2, но делится на 3. Уменьшим предпоследнюю цифру на 1 и получим 
Это число удовлетворяет всем условиям: оканчивается на 9, взаимно просто с 36 и является наибольшим среди всех таких чисел. Следовательно, ему соответствует наибольшее возможное число 
Аналогично определяется наименьшее число: первая цифра A (т. е. последняя цифра B) должна быть наименьшей возможной, поэтому 
Среди чисел B, оканчивающихся единицей, наименьшее A соответствует наименьшему B. Если последняя цифра - единица, то самое маленькое число, которое удовлетворяет неравенству 
— это 77777781. Но оно делится на 3, так как сумма цифр равна 51. Изменяя предпоследнюю цифру на 1, получим число 
которое удовлетворяет всем условиям: оканчивается единицей, взаимно просто с 36 и является наименьшим среди всех таких чисел. Ему соответствует наименьшее возможное число 
Ответ: 
Критерии проверки:Верный ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Решение приведено, но имеет пробелы, неточности или арифметические ошибки — 3−6 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 7−8 баллов.
Ответ: 
