Всего на три за­дан­ных во­про­са было дано 68+59+46  =  173 от­ве­та «да». За­ме­тим, что т. к. каж­дый жи­тель го­ро­да Ка­ши­но живёт ровно в одном рай­о­не, то если бы каж­дый жи­тель был бы ры­ца­рем (т. е. го­во­рил толь­ко прав­ду, то число от­ве­тов «да» было бы равно числу жи­те­лей го­ро­да (ры­царь го­во­рит «да» толь­ко один раз в си­ту­а­ции, когда речь идёт о рай­о­не, в ко­то­ром он живёт). А вот если бы каж­дый жи­тель го­ро­да был лже­цом, то от­ве­тов «да» было бы ровно в два раза боль­ше, чем жи­те­лей го­ро­да (т. к. каж­дый жи­тель-лжец го­ро­да го­во­рит «да» ровно два раза, когда речь идёт о рай­о­нах, в ко­то­рых он не живёт). Сле­до­ва­тель­но, число лже­цов го­ро­да Ка­ши­но равно раз­но­сти между чис­лом от­ве­тов «да» и чис­лом жи­те­лей го­су­дар­ства, т. е. 173−120  =  53. После того, как в рай­о­не Ман­ки­но по­бы­вал док­тор Ай­бо­лит, все жи­те­ли рай­о­на стали го­во­рить прав­ду, зна­чит, если рань­ше на во­прос «Вы живёте в рай­о­не Ов­сян­ки­но?» они от­ве­ча­ли «да», то те­перь на этот во­прос они от­ве­тят «нет». Зна­чит, число лже­цов рай­о­на Ман­ки­но равно раз­но­сти числа от­ве­тов «да» при пер­вом и вто­ром опро­сах (т. е. 59−34  =  25). Ана­ло­гич­но число лже­цов в Греч­ки­но равно 59−43=16. Сле­до­ва­тель­но, сум­мар­ное число лже­цов в рай­о­нах Ман­ки­но и Греч­ки­но равно 25+16  =  41. А так как всего в го­ро­де 53 лжеца, то в рай­о­не Ов­сян­ки­но про­жи­ва­ют 53−41  =  12 лже­цов.

Ответ: 12 лже­цов.