РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2815 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений, Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Решите систему уравнений:

$система выражений 4 косинус в квадрате 2x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 синус в квадрате 2x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0, синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: косинус y конец аргумента =0. конец системы$

Решение.

Решим 1-е уравнение системы:

$4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 синус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2 x синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно система выражений 2 косинус 2 x левая круглая скобка синус дробь: числитель: x , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус 2 x = 0 конец системы . равносильно система выражений синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 2 x = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z ,x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 синус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2 x синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус 2 x левая круглая скобка синус дробь: числитель: x , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус 2 x = 0 конец системы . равносильно система выражений синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 2 x = 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z ,x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 синус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2 x синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно система выражений 2 косинус 2 x левая круглая скобка синус дробь: числитель: x , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус 2 x = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 2 x = 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z ,x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 синус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2 x синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус 2 x левая круглая скобка синус дробь: числитель: x , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус 2 x = 0 конец системы . равносильно система выражений синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 2 x = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z ,x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби минус 4 синус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 косинус в квадрате 2 x умножить на синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2 x синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус 2 x левая круглая скобка синус дробь: числитель: x , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0, синус 2 x = 0 конец системы . равносильно система выражений синус дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус 2 x = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z ,x=3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка , k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . x= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной системе уравнений, получаем равносильную ей систему:

$система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: косинус y конец аргумента =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 2 Пи m , m принадлежит Z , косинус y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка , m принадлежит Z , косинус y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m, m принадлежит Z ,y= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z , конец системы . система выражений x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m, m принадлежит Z ,y=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: косинус y конец аргумента =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 2 Пи m , m принадлежит Z , косинус y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка , m принадлежит Z , косинус y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m, m принадлежит Z ,y= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z , конец системы . система выражений x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m, m принадлежит Z ,y=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи k, k принадлежит Z , конец системы . синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: косинус y конец аргумента =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 2 Пи m , m принадлежит Z , косинус y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 6 Пи левая круглая скобка 2 m плюс 1 правая круглая скобка , m принадлежит Z , косинус y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m, m принадлежит Z ,y= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z , конец системы . система выражений x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m, m принадлежит Z ,y=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z . конец системы . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 12 Пи m; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n правая круглая скобка : m, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 2803: 2815 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе