а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
Решение. а) Один корень, если 
или 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследуйте функцию 
в) Преобразуйте данное тождество к виду
г) Все нечетные n.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
для которых верно неравенство 
таких что уравнение 
)
б) 
в) 
известно, что 
и 
то 
то 
Так как 
то 
поэтому 
то, поскольку 
то 
при всех 
— вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.
делится на многочлен 
Тогда 
а 
Утверждение задачи следует из того, что 
то доказанное тождество имеет следующую тригонометрическую форму 
и 
После небольших преобразований получаем, что искомое тождество равносильно тождеству, указанному в конце решения предыдущего пункта. 
Таким образом, 