Всего: 26 1–20 | 21–26
Добавить в вариант
На дне вертикального цилиндрического сосуда с радиусом основания R лежит шар радиуса r. В сосуд налита жидкость так, что ее поверхность является касательной к поверхности шара. Этот шар заменили другим — большего радиуса. Жидкость при этом не выливалась из сосуда и не доливалась в него. Оказалось, что новый шар лежит на дне цилиндра, а поверхность жидкости опять является касательной к поверхности шара. При каких значениях соотношения 
можно наблюдать такое явление при замене шара другим шаром большего радиуса?
Обозначим радиус второго шара 
тогда объем жидкости не изменится: 
то 
поэтому, решив неравенство 
(строго больше (!), иначе было бы невозможно взять шар с 
и 
получим: 
отсюда 
точка H расположена ближе к D, чем к B. По теореме Пифагора 
треугольника 
находим, что 
в сторону точки D величина 
меняется монотонно, мы заключаем, что 
Это и, значит, что 
равно удвоенной площади этого четырехугольника. Грани тетраэдра при проектировании в эту плоскость дважды накрывают четырехугольник ABCD, поэтому площадь поверхности тетраэдра больше площади четырехугольника. 
чтд.Внутри треугольника ABC взяли произвольную точку M. Через вершины треугольника и эту точку провели три отрезка до пересечения с противоположными сторонами. Докажите, что среди этих отрезков можно выбрать два таких, что точка M делит один из них (считая от вершины) в отношении ⩾ 2, а другой — в отношении ⩽ 2.
а 
где S — площадь треугольника ABC. 
Аналогичное противоречие получается для треугольника AMC (при рассмотрении высот из вершин B и M на сторону AC), если предположить, что все отношения для отрезков больше двух. Таким образом, мы указали два искомых отрезка из вершин C и B, ч. т. д.В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.
(П. А. Бородин)
проведена диагональ AC, так что первый жук ползает по циклу 
второй — по циклу 
Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке A. За время обхода первым жуком полного цикла из A снова в A второй жук сдвигается по своему циклу на AB − CD в одну и ту же сторону. Поскольку 
Докажите, что BM меньше периметра треугольника ACL.
Треугольники ACL и KCL равны по двум сторонам и углу между ними, значит, 
Тогда 
Студент построил четырехугольник ABCD и измерил расстояния от вершин до точки M, которую указал профессор. Оказалось, что 
где S — площадь четырехугольника. Что за четырехугольник построил студент, и что за точку указал профессор.
длины диагоналей — d1, d2. Тогда 
где α — угол между диагоналями. Имеем:
Следовательно, искомый четырехугольник — квадрат, а М — точка пересечения диагоналей.