Всего: 65 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–65
Добавить в вариант
Ювелир создал новое украшение в виде правильного 2023-угольника, в вершинах которого расположены 2023 жемчужины, ровно m из которых имеют серебряный оттенок, а остальные — золотой. Он утверждает, что количество получаемых одноцветных равнобедренных треугольников (одноцветным считается треугольник, у которого все вершины имеют жемчужины одного цвета) при фиксированном числе m серебряных жемчужин не зависит от способа их расположения. Прав ли ювелир?
). Обозначим через CC, CZ и ZZ число диагоналей и сторон многоугольника, концы которых имеют серебряные, серебряные и золотые, золотые жемчужины соответственно, а через СCC, CCZ, CZZ и ZZZ — число треугольников, в которых имеются 3, 2, 1 и 0 серебряных жемчужин в вершинах соответственно.
и 
Из этих равенств следует, что 
не зависит от способа расположения жемчужин в вершинах 
Обозначим количество равнобедренных одинаковых треугольников за S, а остальные за D. Тогда всего равнобедренных треугольников S+D=\frac{2023\cdot2022}{2}. Для каждой пары одинаковых вершин 
При огранке алмаза мастер получил камень, сечение которого есть правильный 121-угольник. Ровно n его вершин имеют дефект, остальные вершины без дефекта. Рассматриваются одинаковые равнобедренные треугольники, вершины которых расположены в вершинах 121-угольника. (Треугольник считается одинаковым, если все его вершины или без дефекта, или с дефектом.) Доказать, что при фиксированном n число равнобедренных одинаковых треугольников не зависит от дефектности или без дефектности вершин 121-угольника.
). Обозначим через DD, DB и BB число диагоналей и сторон многоугольника, концы которых имеют дефект, дефект и без дефекта, без дефектные вершины соответственно, а через DDD, DDB, DBB и ВBВ — число треугольников, в которых имеются 3, 2, 1 и 0 дефектных вершин соответственно.
так как каждая диагональ (или сторона) многоугольника принадлежит трем треугольникам, в треугольниках с тремя дефектами в вершинах три стороны с двумя дефектами на концах, в треугольнике с двумя дефектами в вершинах одна такая сторона, а в треугольниках с меньшим числом дефектов таких сторон нет.
и 
Из этих равенств следует, что 
не зависит от дефектности вершин.
Обозначим количество равнобедренных одинаковых треугольников за S, а остальные за D. Тогда всего равнобедренных треугольников 
Для каждой пары одинаковых вершин 
Питерский
В частности, числа на висячих стрелках не превосходят 1. По индукции легко понять, что число на стрелке, на конце которой висит поддерево размера k, не превосходит 
Действительно, пусть из этого конца выходит d стрелок, ведущих в деревья размером 
сумма si равна 
По предположению индукции, числа на этих на этих стрелках не превосходят 
их сумма не больше чем 
И по условию число на исходной стрелке не больше чем 
Квадрат размером 5 × 5 разбили на квадратики со стороной 1 и у каждого квадратика отметили его центр. Дима провёл четыре отрезка с концами в отмеченных точках так, что никакие два отрезка не пересекаются (даже по отмеченным центрам). Докажите, что после этого он всегда сможет провести пятый отрезок с концами в отмеченных точках так, чтоб он не пересекал никакой другой отрезок.
Где-то в океане есть остров Невезения, на котором расположены несколько городов, соединённых между собой дорогами так, что случайный турист может попасть из любого города в любой другой. Оказалось, что если закрыть любые два города на карантин и перекрыть все ведущие в них дороги, то всё ещё можно проехать из любого из оставшихся городов в любой другой.
Турист случайным образом выбрал три дороги, никакие две из которых не ведут в один город, и хочет проехать по ним, начав и закончив свой маршрут в одном и том же городе, по пути не заезжая ни в какой из городов дважды. Всегда ли он сможет это сделать?