Всего: 28 1–20 | 21–28
Добавить в вариант
где k1 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку B, а k2 — через точку A. Найдем эти значения: 
следовательно, 
следовательно, 
решения нет. Найдем решение при 
и 
Отложим точку C, симметричную точке A относительно прямой 
для этого из A опустим перпендикуляр на 
и на нем найдем точку C такую, что 
Проводя прямую через точки C и B, найдем ее пересечение с прямой 
а кратчайшее расстояние между точками — прямая. Найдем периметр этого треугольника: 
где O — начало координат. Докажите, что хотя бы одна из четырёх координат точек A и B — чётное число.
а точка B — координаты 
Запишем скалярное произведение векторов 
и 
двумя способами: через координаты и через угол между ними. Тогда
а правая — на 8 не делится.
но дальнейших продвижений нет — 3 балла;
но дальнейших продвижений нет — 3 балла;
но дальнейших продвижений нет — 3 балла;
—Окружность — это, как известно, множество точек на плоскости, удаленных от заданной точки (центра) на фиксированное расстояние (радиус окружности), а число π — это отношение длинны окружности к длине ее диаметра. В этом определении по умолчанию предполагают, что речь идет об Евклидовом расстоянии/длине, которая вычисляется на двумерной координатной плоскости (XOY) для отрезка с концами в точках (x1, y1) и (x2, y2) по формуле: 
Однако, Евклидово определение длины — не единственно-возможное. Например, так называемая равномерная длина отрезка с концами в точках (x1, y1) и x2, y2) вычисляется по формуле 
Нарисуйте на координатной плоскости (XOY) равномерную окружность равномерного радиуса 1 с центром в начале координат. Чему равно отношение равномерной длинны равномерной окружности к равномерной длине ее диаметра?
с центром в начале координат (0, 0) — это множество всех точек координатной плоскости 
таких, что 
(то есть что 
В частности, для 
данное уравнение может быть переписано в виде следующей системы ограничений (соответствующих четырем квадрантам координатной плоскости): 
и 
Найдите длину стороны AB, если длина вектора 
равна 10.
получаем равенство 
и 
Найдите длину стороны AC, если длина вектора 
равна 10.
получаем равенство 
Рассмотрим множество всех точек плоскости, координаты которых имеют вид 
где m, n — целые числа. Докажите, что на прямой, проходящей через любые две точки указанного множества, лежит сторона некоторого квадрата, все четыре вершины которого принадлежат этому множеству. Укажите минимальную площадь такого квадрата.
—
и только они. Применительно к нашей задаче, требуется проверить, что для каждого вектора 
существует перпендикуляр вида 
Другими словами надо решить относительно 
уравнение 
существует перпендикулярный ему вектор 
вида 
Нетрудно понять, что вектора 
и 
Координаты четвертой вершины квадрата D совпадают с координатами вектора 
которые находятся из очевидного соотношения 
и 
где k — уже произвольное целое число. Подставив полученное выражение для m1 в формулу для площади 
и 
пересекаются в точках A и B, лежащих по разные стороны от оси ординат. Точка O — начало координат. Оказалось, что 
Найдите все возможные значения c.
— координаты точек A и B соответственно, причём 
и 
Тогда x1, x2 являются корнями уравнения 
Если 
то графики касаются в точке O, и двух точек пересечения быть не может. Иначе справедлива теорема Виета 
что в координатной форме примет вид 
поэтому 
и 
и последнее равенство перепишется в виде 
откуда 
Подставляя в теорему Виета, получим, что 
Так как a может принимать любые значения, кроме 1, то c принимает любые значения, кроме нуля. При любом указанном c, корни уравнения 
существуют, так как дискриминант квадратного уравнения равен 
гарантирует, что эти корни будут разных знаков. 
и/или 
где 
На координатной плоскости дан прямоугольник с целочисленными координатами вершин, отличный от квадрата. Докажите, что можно провести несколько прямых, параллельных сторонам прямоугольника, так, что прямоугольник разобьется на квадраты с целочисленными координатами вершин.
начало координат: иначе сместим начало координат в точку A, а в конце сделаем сдвиг на целочисленный вектор 
Обозначим векторы 
где p, q, m, n — целые числа. Поскольку 
и 
взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0, т. е. 
(этот факт также следует из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых OB и OD). Рассмотрим сначала случай, когда p и q не взаимно просты. Тогда 
В этом случае рассмотрим на стороне OD промежуточные точки 
где 
Проведём через точки Di прямые, параллельные стороне OB. Они пересекут сторону BC в точках 
где 
имеют целочисленные координаты и тем самым, прямые 
разбивают прямоугольник OBCD на k прямоугольников с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением первого типа. Аналогично, если m и n не взаимно просты, то прямыми, параллельными стороне OD, разобьем OBCD на меньшие прямоугольники с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением второго типа; прямые этого разбиения проходят через промежуточные точки Bj на стороне OB, где 
а l — наибольший общий делитель m и n, (
Заметим, что в случае, когда одновременно 
и 
прямые первого и второго разбиений разбивают прямоугольник ОBCD на 
равных прямоугольников с вершинами в точках Mij, где 
получим, что 
(действительно, из этого равенства следует, что p делится на n и, в то же время, n делится на p, значит, 
аналогично, 
с учетом знака в данном равенстве). В этом случае стороны прямоугольника OBCD равны: 