Для ре­ше­ния по­став­лен­ной за­да­чи до­ста­точ­но до­ка­зать, что на любой пря­мой, про­хо­дя­щей через (0, 0) и точку вида   — мно­же­ство целых чисел), лежит сто­ро­на не­ко­то­ро­го квад­ра­та, все вер­ши­ны ко­то­ро­го при­над­ле­жат ука­зан­но­му мно­же­ству.

Из­вест­но, что пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми к век­то­ру (a, b) яв­ля­ют­ся все век­то­ра вида и толь­ко они. При­ме­ни­тель­но к нашей за­да­че, тре­бу­ет­ся про­ве­рить, что для каж­до­го век­то­ра су­ще­ству­ет пер­пен­ди­ку­ляр вида Дру­ги­ми сло­ва­ми надо ре­шить от­но­си­тель­но урав­не­ние

Пе­ре­пи­шем по­лу­чен­ное урав­не­ние в виде си­сте­мы

ко­то­рую не­слож­но пре­об­ра­зо­вать в эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му

раз­ре­ши­мость ко­то­рой оче­вид­на  — по­сле­до­ва­тель­но вы­би­ра­ем под­хо­дя­щие целые числа k, n₂ и m₂.

Таким об­ра­зом, для вся­ко­го век­то­ра су­ще­ству­ет пер­пен­ди­ку­ляр­ный ему век­тор вида Не­труд­но по­нять, что век­то­ра и яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ко­мо­го квад­ра­та.

Будем ис­кать квад­рат с ми­ни­маль­ной пло­ща­дью. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что вер­ши­на A квад­ра­та сов­па­да­ет с на­ча­лом ко­ор­ди­нат (0, 0). Пусть вер­ши­ны B и C имеют ко­ор­ди­на­ты Ко­ор­ди­на­ты чет­вер­той вер­ши­ны квад­ра­та D сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра ко­то­рые на­хо­дят­ся из оче­вид­но­го со­от­но­ше­ния

То есть точка D, ра­зу­ме­ет­ся, при­над­ле­жит на­ше­му мно­же­ству. Дан­ный че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся квад­ра­том в том и толь­ко том слу­чае, когда

Решая по­след­нюю си­сте­му, на­хо­дим

Име­ет­ся, ко­неч­но же, еще одно ре­ше­ние, по­сколь­ку точку C можно от­ра­зить сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но пря­мой AB и по­лу­чить тот же квад­рат, по­вер­ну­тый на 90°. Это ре­ше­ние рас­смат­ри­ва­ет­ся ана­ло­гич­но.

Мы вы­ра­зи­ли числа m₂ и n₂ через m₁ и n₁. Од­на­ко, целые числа m₁ и n₁ нель­зя вы­би­рать со­вер­шен­но про­из­воль­но, так как вы­чис­лен­ные затем по фор­му­лам (*) числа m₂ и n₂ долж­ны также быть це­лы­ми. Можно в этой связи по­ка­зать, что число n₁ все же можно вы­би­рать про­из­воль­но, но тогда число m₁ долж­но иметь вид где k  — уже про­из­воль­ное целое число. Под­ста­вив по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние для m₁ в фор­му­лу для пло­ща­ди

по­лу­чим

Вы­ра­же­ние в скоб­ках при­ни­ма­ет толь­ко целые по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Зна­чит, мень­ше 49 пло­щадь быть не может. Чтобы убе­дить­ся, что зна­че­ние 49 до­сти­жи­мо, до­ста­точ­но взять

Ответ: 49.