РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 9
Атрибут

Всего: 29 1–20 | 21–29

Добавить в вариант

Тип 0 № 7287 Добавить в вариант

У Васи есть калькулятор с двумя кнопками, на экране которого отображается целое число x. Нажатие на первую кнопку заменяет число x на экране на число $левая квадратная скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ а нажатие на вторую кнопку заменяет число x на число $4 x плюс 1.$ Вначале на экране калькулятора отображается число 0. Сколько натуральных чисел, не превосходящих числа 2018, можно получить последовательным нажатием кнопок? Разрешается в процессе получать числа, большие 2018. Через [y] обозначена целая часть числа y, то есть наибольшее целое число, не превосходящее y.

Решение.

Переведем число на экране калькулятора в двоичную систему счисления. Тогда операции, выполняемые при нажатии кнопок, есть не что иное, как стирание последней цифры числа и дописывание в конец числа комбинации цифр 01. Ясно, что таким образом можно получить любую комбинацию цифр, в которой не встречаются две единицы подряд.

Обозначим через S_k количество не более чем k-значных в двоичной системе чисел, не содержащих двух единиц подряд (для удобства будем дописывать нули в старшие разряды числа, чтобы цифр стало ровно k). Легко видеть, что $S_1=2$ (числа 0 и 1), $S_2=3$ (числа 00, 01 и 10).

Убедимся, что при всех $k больше или равно 1$ выполнено рекуррентное соотношение $S_k плюс 2=S_k плюс 1 плюс S_k.$ Действительно: все не более чем $левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка$ -значные числа без двух единиц подряд либо оканчиваются на 0 (таких чисел ровно $S_k плюс 1 правая круглая скобка ,$ либо оканчиваются на 01 (таких ровно S_k), и, значит, $S_k плюс 2=S_k плюс 1 плюс S_k.$ Выясним, сколько чисел, не превосходящих 11-значного числа $2018=11 111 100 010_2,$ не содержат двух единиц подряд. Заметим, что все 11-значные числа, большие 2018, точно содержат две единицы подряд, и поэтому достаточно посчитать $S_11=233$ (что легко сделать, использовав доказанную выше рекуррентную формулу); после чего нужно откинуть комбинацию из всех нулей, которая не соответствует натуральному числу.

Ответ: 232.

Замечания.

а)  На самом деле $S_k=F_k плюс 2,$ где F_k  — последовательность Фибоначчи, определенная соотношениями $F_1=1,$ $F_2=1$ и $F_k плюс 2=F_k плюс 1 плюс F_k.$

б)  В приведенном выше решении S_k  — количество чисел, включая число 0. Если считать количество натуральных чисел, рекуррента примет вид $a_k плюс 2=a_k плюс 1 плюс a_k плюс 1.$

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8238 Добавить в вариант

Натуральное число x в системе счисления с основанием r $левая круглая скобка r меньше или равно 36 правая круглая скобка$ имеет вид $\overlinep p q q,$ причем $2 q=5 p .$ Оказалось, что r-ичная запись числа $x в квадрате$ представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой (палиндромом называется число, которое читается одинаково слева направо и справа налево). Найдите сумму r-ичных цифр числа $x в квадрате .$

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8363 Добавить в вариант

Запись натурального числа x в системе счисления с основанием 23 состоит из 2 одинаковые цифры равны нулю. Найдите все такие числа x. Oтвет дайте в 23-ичной системе счисления. (Цифры от 10 до 22 обозначаются латинскими буквами от A до M).

Критерии проверки:

Общая схема:

Факторы, влияющие на оценку.

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8475 Добавить в вариант

Существует ли трёхзначное число такое, что в его записи все цифры различны и расположены в порядке возрастания, в записи его квадрата все цифры различны и расположены в порядке возрастания, и в записи его куба все цифры различны и расположены в порядке возрастания?

Баллы	Критерии оценивания
20	Полное решение.
17	Не обосновано, что 1234567 не является кубом. В остальном решение верное.
12	Ход решения и ответ верные, но неверно оценено количество цифр в квадрате и кубе.
3	Рассмотрены последние цифры (не все) и доказана невозможность хотя бы четырёх цифр.
0	Отсутствие решения.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9899 Добавить в вариант

Найдите не менее трёх простых чисел, каждое из которых записывается как 2011 в системе счисления с некоторым основанием (и укажите подходящие основания).

Решение · Помощь

Тип 21 № 9982 Добавить в вариант

Петя последовательно выписывает натуральные числа от 1 до n в системе счисления с основанием k, ищет их общую сумму цифр S(n; k) и проверяет, не окажется ли она равной 2007. Меняя k, из подходящих вариантов он оставляет только те, в которых n окажется наименьшим возможным. При каких k это случится?

Решение.

Допустим сначала, что основание системы счисления k достаточно велико, и цифры этой системы счисления достаточно большие для того, чтобы сумма цифр всех однозначных чисел в этой системе счисления $больше или равно$ 2007. Тогда сумма цифр имеет вид

$1 плюс 2 плюс 3 плюс \ldots плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 2007 ;$

$k в квадрате минус k минус 4014 больше или равно 0,$ $D=1 плюс 4 умножить на 4014=16057 .$

Очевидно, k неотрицательно. Поэтому

$k больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 16057 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби больше 63 .$

Здесь же увидели, что в этом случае (k > 63) сумма цифр всех чисел от 1 до n не равна 2007.

Пусть теперь $k меньше или равно 63.$ Удалось установить, что сумма цифр всех чисел от 1 до n равна 2007 только для основания системы счисления $k=10$ и $k=35.$

При $k=10$ получаются следующие суммы цифр:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 46, 48, 51, 55, 60, 66, 73, 81, 90, 100, 102, 105, 109, 114, 120, 127, 135, 144, 154, 165, 168, 172, 177, 183, 190, 198, 207, 217, 228, 240, 244, 249, 255, 262, 270, 279, 289, 300, 312, 325, 330, 336, 343, 351, 360, 370, 381, 393, 406, 420, 426, 433, 441, 450, 460, 471, 483, 496, 510, 525, 532, 540, 549, 559, 570, 582, 595, 609, 624, 640, 648, 657, 667, 678, 690, 703, 717, 732, 748, 765, 774, 784, 795, 807, 820, 834, 849, 865, 882, 900, 901, 903, 906, 910, 915, 921, 928, 936, 945, 955, 957, 960, 964, 969, 975, 982, 990, 999, 1009, 1020, 1023, 1027, 1032, 1038, 1045, 1053, 1062, 1072, 1083, 1095, 1099, 1104, 1110, 1117, 1125, 1134, 1144, 1155, 1167, 1180, 1185, 1191, 1198, 1206, 1215, 1225, 1236, 1248, 1261, 1275, 1281, 1288, 1296, 1305, 1315, 1326, 1338, 1351, 1365, 1380, 1387, 1395, 1404, 1414, 1425, 1437, 1450, 1464, 1479, 1495, 1503, 1512, 1522, 1533, 1545, 1558, 1572, 1587, 1603, 1620, 1629, 1639, 1650, 1662, 1675, 1689, 1704, 1720, 1737, 1755, 1765, 1776, 1788, 1801, 1815, 1830, 1846, 1863, 1881, 1900, 1902, 1905, 1909, 1914, 1920, 1927, 1935, 1944, 1954, 1965, 1968, 1972, 1977, 1983, 1990, 1998, 2007.

При этом $n=216.$

При k  =  35 получаются следующие суммы цифр:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 596, 598, 601, 605, 610, 616, 623, 631, 640, 650, 661, 673, 686, 700, 715, 731, 748, 766, 785, 805, 826, 848, 871, 895, 920, 946, 973, 1001, 1030, 1060, 1091, 1123, 1156, 1190, 1225, 1227, 1230, 1234, 1239, 1245, 1252, 1260, 1269, 1279, 1290, 1302, 1315, 1329, 1344, 1360, 1377, 1395, 1414, 1434, 1455, 1477, 1500, 1524, 1549, 1575, 1602, 1630, 1659, 1689, 1720, 1752, 1785, 1819, 1854, 1890, 1893, 1897, 1902, 1908, 1915, 1923, 1932, 1942, 1953, 1965, 1978, 1992, 2007.

При этом n  =  117. (Очевидно, из двух чисел 117 и 216, наименьшее  — 117). При всех остальных k сумма цифр не равна 2007.

Ответ: сумма цифр всех чисел от 1 до n оказывается равна 2007 только в системах счисления k  =  10 (при этом n  =  216) и k  =  35 (при этом n  =  117).

Решение · Помощь

Тип 21 № 10010 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, запись которого в трех разных системах счисления содержит ровно две единицы и несколько нулей (не менее одного).

Решение · Помощь

Тип 21 № 10071 Добавить в вариант

Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной). Например, десятичное число 2001 является репдиджитом в системе счисления с основанием 666. Проверьте это и найдите основания еще трех систем счисления, в которых 2001 является репдиджитом.

Решение · Помощь

Тип 21 № 10078 Добавить в вариант

Репдиджитом в некоторой системе счисления называется число, запись которого в этой системе счисления состоит из одинаковых цифр (более одной). Докажите, что для любого натурального n существует число, которое является репдиджитом не менее, чем в n различных системах счисления.

Решение · Помощь

Всего: 29 1–20 | 21–29