Всего: 32 1–20 | 21–32
Добавить в вариант
Нынешний год — високосный, то есть 29 февраля 2020 г. (29.02.20) — реальная календарная дата. Вычислим следующие величины:
— S1 = 51 — сумма трёх чисел 2, 29 и 20;
— S2 = 1245 — сумма квадратов этих чисел;
— S3 = 32397 — сумма кубов этих же чисел.
Найдите все (вещественные) корни уравнения
Заметим, что если кубический многочлен 
представим в виде произведения
то имеют место следующие равенства:
а) 
б) 
в) 
а корни 
—
Так как в нашем уравнении
для первого коэффициента 
имеет место равенство 
то можно предположить, что корни этого уравнения 
и 
Для того, чтобы доказать эту гипотезу, достаточно показать, что
1) 
2) 
Первое из этих равенств достаточно очевидно, но второе доказывается несколько более кропотливо, поэтому для упрощения доказательства введем обозначения 
и 
Для первого из равенств имеем:
Для второго из равенств имеем:
Ответ: уравнение имеет три корня 
и
и Решите уравнение:
Данное уравнение равносильно уравнению 
из которого и находится единственный действительный корень.
Ответ: 
| Критерии | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 10 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. | + / 2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Решите уравнение
Умножим обе части уравнения на 
получим
Таким образом, 
или 
Ответ: 
Найти сумму действительных корней уравнения 
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
которые после подстановки 
преобразуются в уравнения
В левых частях стоят монотонно возрастающие функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения. Уравнения имеют, следовательно, ровно по одному действительному корню, которые согласно формуле Кардано равны
и
соответственно. Искомая сумма поэтому равна
Ответ: 
Найдите все натуральные a, при которых неравенство
имеет ровно а) 2016 целых решений; б) 2017 целых решений.
Запишем ОДЗ:
Многочлен 6 степени, следовательно, 6 корней. Если 
—
1) Если то
То есть при
имеем три решения 
2) Если 
то
решение 
решение
Всего целых решений 
a) 
б) 
Ответ: а) 1009; б) нет таких a.
Решить уравнение
Сделаем замену переменной по формуле 
тогда уравнение примет вид
Нетрудно видеть, что уравнение имеет корень 
поскольку сумма его коэффициентов равна
Поделим многочлен 
на двучлен 
по схеме Горнера, получим
поэтому уравнение примет вид
Уравнение 
также имеет корень поскольку сумма его коэффициентов равна
Снова поделим многочлен 
на двучлен по схеме Горнера, получим
Таким образом, полученное уравнение имеет кратные корни 
и 
Тогда исходное уравнение имеет кратные корни 
и 
Ответ: 
Решить уравнение
Сделаем замену переменной по формуле 
тогда уравнение примет вид
Нетрудно видеть, что уравнение имеет корень 
поскольку сумма его коэффициентов равна
Поделим многочлен
на двучлен a – 1 по схеме Горнера, получим
поэтому полученное уравнение примет вид
Уравнение 
также имеет корень поскольку сумма его коэффициентов равна
Снова поделим многочлен 
на двучлен 
по схеме Горнера, получим
поэтому полученное уравнение примет вид
Таким образом, полученное уравнение имеет кратные корни 
и 
Тогда исходное уравнение имеет кратные корни 
и 
Ответ: 
Решите уравнение 
Приведем несколько способов решения данной задачи.
Способ I. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для четырёх чисел,
По условию, имеем равенство. Оно имеет место только в случае равенства всех слагаемых: 
Отсюда ответ.
Ответ: ±1.
Способ II. Воспользуемся дважды неравенством 
По условию, имеем равенство. Поскольку
получаем Отсюда ответ.
Способ III. Замена 
Получаем уравнение
Его можно представить в виде
Единственное неотрицательное решение 
Отсюда 
За верное решение 13 баллов. Если только угадан ответ, но не показано, что нет других решений, 2 балла.
Решите уравнение 
Приведем несколько способов решения данной задачи.
Способ I. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для четырёх чисел,
По условию, имеем равенство. Оно имеет место только в случае равенства всех слагаемых: 
Отсюда ответ.
Ответ: ±1.
Способ II. Воспользуемся дважды неравенством 
получаем
откуда 
По условию, имеем равенство. Поскольку
получаем Отсюда ответ.
Способ III. Замена Получаем уравнение
Его можно представить в виде
Единственное неотрицательное решение Отсюда
За верное решение 13 баллов. Если только угадан ответ, но не показано, что нет других решений, 2 балла.
Решите уравнение:
Данное уравнение равносильно уравнению из которого и находится единственный действительный корень.
Ответ:
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Получено уравнение
| +/2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет | − | 0 |
| Задача не решалась | 0 | 0 |
но не решеноРешите уравнение: 
Данное уравнение равносильно уравнению 
из которого и находится единственный действительный корень.
Ответ: 
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ. | ± | 7 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Получено уравнение
| +/2 | 5 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет | − | 0 |
| Задача не решалась | 0 | 0 |
Найдите все корни уравнения 
Очевидно, что x — целое (иначе 
и 
будут дробными, следовательно, их произведение тоже дробно и не равно 2006). Если 
то 
а 
Значит, их произведение отрицательно и не равно 2006. Если х в промежутке 
то произведение и меньше 2006. 
подходит. Видно, что функция
возрастает при 
поэтому x не может быть больше 11 .
Ответ: 11.
Наверх