сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ны­неш­ний год  — ви­со­кос­ный, то есть 29 фев­ра­ля 2020 г. (29.02.20)  — ре­аль­ная ка­лен­дар­ная дата. Вы­чис­лим сле­ду­ю­щие ве­ли­чи­ны:

S1  =  51  — сумма трёх чисел 2, 29 и 20;

S2  =  1245  — сумма квад­ра­тов этих чисел;

S3  =  32397  — сумма кубов этих же чисел.

Най­ди­те все (ве­ще­ствен­ные) корни урав­не­ния

x в кубе плюс S_1x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: s в квад­ра­те _1 минус s_2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: s в кубе _1 плюс 2s_3 минус 3s_1s_2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что если ку­би­че­ский мно­го­член x в кубе плюс a_1 x в квад­ра­те плюс a_2 x плюс a_3 пред­ста­вим в виде про­из­ве­де­ния

 левая круг­лая скоб­ка x минус c_1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус c_2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус c_3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то имеют место сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

а)  a_1= минус левая круг­лая скоб­ка c_1 плюс c_2 плюс c_3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

б)  a_2=c_1 c_2 плюс c_1 c_3 плюс c_2 c_3,

в)  a_2= минус c_1 c_2 c_3,

а корни урав­не­ния x в кубе плюс a_1 x в квад­ра­те плюс a_2 x плюс a_3=0  — это c1, c2 и c3. Фак­ти­че­ски, это ва­ри­ант утвер­жде­ния тео­ре­мы Виета.

Так как в нашем урав­не­нии

x в кубе плюс S_1 x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: S_1 в квад­ра­те минус S_2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: S_1 в кубе плюс 2 S_3 минус 3 S_1 S_2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =0

для пер­во­го ко­эф­фи­ци­ен­та a_1 имеет место ра­вен­ство a_1=S_1=2 плюс 29 плюс 20, то можно пред­по­ло­жить, что корни этого урав­не­ния x_1= минус 2,  x_2= минус 29 и x_3= минус 20.

Для того, чтобы до­ка­зать эту ги­по­те­зу, до­ста­точ­но по­ка­зать, что

1)   дробь: чис­ли­тель: S_1 в квад­ра­те минус S_2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 \times 29 плюс 2 \times 2020 плюс 29 \times 20,

2)   дробь: чис­ли­тель: S_1 в кубе плюс 2 S_3 минус 3 S_1 S_2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =2 \times 29 \times 20.

Пер­вое из этих ра­венств до­ста­точ­но оче­вид­но, но вто­рое до­ка­зы­ва­ет­ся не­сколь­ко более кро­пот­ли­во, по­это­му для упро­ще­ния до­ка­за­тель­ства вве­дем обо­зна­че­ния a=2, b=29 и c=20 .

Для пер­во­го из ра­венств имеем:

 дробь: чис­ли­тель: S_1 в квад­ра­те минус S_2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 a b плюс 2 a c плюс 2 b c, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =a b плюс a c плюс b c.

Для вто­ро­го из ра­венств имеем:

 дробь: чис­ли­тель: S_1 в кубе плюс 2 S_3 минус 3 S_1 S_2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 2 левая круг­лая скоб­ка a в кубе плюс b в кубе плюс c в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a в кубе плюс b в кубе плюс c в кубе плюс 3 a b в квад­ра­те плюс 3 a c в квад­ра­те плюс 3 a в квад­ра­те b плюс 3 b c в квад­ра­те плюс 3 a в квад­ра­те c плюс 3 b в квад­ра­те c плюс 6 a b c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка a в кубе плюс b в кубе плюс c в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка a в кубе плюс b в кубе плюс c в кубе плюс a b в квад­ра­те плюс a c в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те b плюс b c в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те c плюс b в квад­ра­те c пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =
=a b c.

 

Ответ: урав­не­ние имеет три корня x_1= минус 2, x_2= минус 29 и x_3= минус 20.


Аналоги к заданию № 6713: 6725 Все