РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение $x в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка минус ax плюс 1=0?$

б)  Пусть $s=a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n$ ( $a_i\geqslant минус 1$ ). Докажите неравенство

$левая круглая скобка a_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка a_n плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно e в степени s .$

в)  Пусть A, B, C  — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если

$тангенс левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка плюс тангенс левая круглая скобка B минус C правая круглая скобка плюс тангенс левая круглая скобка C минус A правая круглая скобка =0,$

то этот треугольник  — равнобедренный.

г)  Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = принадлежит t\limits_0 в степени x синус в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка t dt.$ Решите уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0.$

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	996	один корень, если $a меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби \root11\of10,$ два, если $a= дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби \root11\of10$ и три корня, если $a больше дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби \root11\of10.$ $левая фигурная скобка 2 Пи k : k принадлежит \Bbb Z правая фигурная скобка .$

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ