а) У Танъ-Янны имеются чашечные весы и набор разновесок в амма (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.
б) Вычислите интеграл
в) Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что длина каждого из кусков не превосходит половины ее длины.
а) Очевидно, что число аммов на одной чашке будет делиться на три, а на другой — не будет.
б) Если воспользоваться формулой для произведения двух косинусов, то произведение можно представить в виде суммы членов вида Поскольку в рассматриваемом случае ни один из коэффициентов при x не равен нулю (и является целым числом), то интеграл от каждого такого слагаемого равен нулю.
Ответ: 0.
в) Мы вправе считать, что длина палки равна единице. Пусть x и y — координаты изломов, Тогда условия на длины кусков определяют неравенства и Искомая вероятность равна отношению площади треугольника с вершинами в точках с координатами и треугольника, определяемого системой из трех указанных неравенств (см. рисунок).
Ответ: