сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  У Танъ-Янны име­ют­ся ча­шеч­ные весы и набор раз­но­ве­сок в 1, 3,\ldots,3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1995 пра­вая круг­лая скоб­ка амма (по одной каж­до­го веса). До­ка­жи­те, что ей не удаст­ся раз­ло­жить их по чаш­кам весов так, чтобы весы были в рав­но­ве­сии.

б)  Вы­чис­ли­те ин­те­грал  при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x ко­си­нус 3x\ldots ко­си­нус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1995 пра­вая круг­лая скоб­ка x dx.

в)  Палку слу­чай­ным об­ра­зом сло­ма­ли в двух ме­стах. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что длина каж­до­го из кус­ков не пре­вос­хо­дит по­ло­ви­ны ее длины.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Оче­вид­но, что число аммов на одной чашке будет де­лить­ся на три, а на дру­гой  — не будет.

 

б)  Если вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой для про­из­ве­де­ния двух ко­си­ну­сов, то про­из­ве­де­ние  ко­си­нус k_1x ко­си­нус k_2x\ldots ко­си­нус k_nx можно пред­ста­вить в виде суммы чле­нов вида 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус n пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка k_1\pm k_2\pm\ldots\pm k_n пра­вая круг­лая скоб­ка x. По­сколь­ку в рас­смат­ри­ва­е­мом слу­чае ни один из ко­эф­фи­ци­ен­тов при x не равен нулю (и яв­ля­ет­ся целым чис­лом), то ин­те­грал от каж­до­го та­ко­го сла­га­е­мо­го равен нулю.

 

Ответ: 0.

 

в)  Мы впра­ве счи­тать, что длина палки равна еди­ни­це. Пусть x и y  — ко­ор­ди­на­ты из­ло­мов, x мень­ше y. Тогда усло­вия на длины кус­ков опре­де­ля­ют не­ра­вен­ства x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , y минус x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и 1 минус y мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна от­но­ше­нию пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках с ко­ор­ди­на­та­ми  левая круг­лая скоб­ка 0, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и тре­уголь­ни­ка, опре­де­ля­е­мо­го си­сте­мой из трех ука­зан­ных не­ра­венств (см. ри­су­нок).

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.