РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Докажите, что если число $x плюс x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ целое, то при всех $n принадлежит \Bbb Z$ число $x в степени n плюс x в степени левая круглая скобка минус n правая круглая скобка$ также целое.

б)  Докажите, что число $левая квадратная скобка левая круглая скобка 3 плюс корень из 5 правая круглая скобка в степени n правая квадратная скобка плюс 1$ делится на $2 в степени n$ ( $левая квадратная скобка . правая квадратная скобка$   — целая часть числа).

в)  Докажите, что если многочлен $x в степени n плюс 1$ делится на многочлен $x в степени k плюс 1,$ то многочлен $x в степени левая круглая скобка 4n правая круглая скобка плюс 1$ делится на $x в степени левая круглая скобка 4k правая круглая скобка плюс 1.$

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ