РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Последовательности $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка b_n правая фигурная скобка$ и $левая фигурная скобка c_n правая фигурная скобка$ связаны соотношениями $a_n плюс 1=\dfracb_n плюс c_n2,$ $b_n плюс 1=\dfracc_n плюс a_n2$ и $c_n плюс 1=\dfraca_n плюс b_n2.$

а)  Найдите пределы этих последовательностей, если $a_1=0,$ $b_1=1$ и $c_1=2.$

б)  Пусть

$\xi=\dfraca_1 плюс b_1 плюс c_13.$

Докажите, что число ξ является общим пределом данных последовательностей.

в)  Дан треугольник ABC с углами $дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби Пи ,$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи ,$ $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби Пи ;$ $A_1, B_1, C_1$   — точки пересечения биссектрис его углов с описанной около него окружностью, A₂, B₂, C₂  — точки пересечения биссектрис углов треугольника $A_1B_1C_1$ с этой же окружностью, и т. д. Вычислите углы треугольника A₄₀B₄₀C₄₀ с точностью до 0,01.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	989	1. $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3$ или $дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ