сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Сколь­ко ре­ше­ний в за­ви­си­мо­сти от a имеет урав­не­ние

|x минус 1| плюс |x минус 2| плюс \ldots плюс |x минус 1994|=a ?

б)  До­ка­жи­те, что при любом на­ту­раль­ном n число n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1994 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1994n плюс 1993 де­лит­ся на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

в)  До­ка­жи­те не­ра­вен­ство

\dfrac2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс \ldots конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс \ldots конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та боль­ше \dfrac14,

где в чис­ли­те­ле дроби 1994 квад­рат­ных корня, в зна­ме­на­те­ле  — 1993.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дей­стви­тель­но, функ­ция \varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum пре­де­лы: от k=1 до 1994, |x минус k| убы­ва­ет на луче левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 997 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , воз­рас­та­ет на левая квад­рат­ная скоб­ка 998, плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и

\varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =996 умно­жить на 997 плюс 997=997 в квад­ра­те

при любом x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 997; 998 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: два ре­ше­ния при a боль­ше 997 в квад­ра­те , бес­ко­неч­но много при a=997 в квад­ра­те и ни од­но­го при a мень­ше 997 в квад­ра­те .

 

б)  Имеем:

n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1994 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1994n плюс 1993=n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1994 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 минус 1994 левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1993 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1992 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс n минус 1993 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а мно­го­член, сто­я­щий во вто­рой скоб­ке, также де­лит­ся на n минус 1, по­сколь­ку еди­ни­ца яв­ля­ет­ся его кор­нем.

За­ме­тим, что дан­ный мно­го­член имеет вид P левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка минус P' левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус P левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , где P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1994 пра­вая круг­лая скоб­ка , и во­об­ще утвер­жде­ние за­да­чи имеет сле­ду­ю­щее обоб­ще­ние: если P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — мно­го­член, то P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус P' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка минус P левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

 

в)  По­ло­жим x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс \ldots плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та (1993 квад­рат­ных кор­ней). Далее,

дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 минус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та ,

по­это­му ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 или минус 2 мень­ше или равно x мень­ше 2, что верно. По­лез­но также от­ме­тить, что дан­ная дробь равна

\dfrac2 минус 2 ко­си­нус \dfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1995 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 минус 2 ко­си­нус \dfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1994 пра­вая круг­лая скоб­ка =\dfrac синус в квад­ра­те \dfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1996 пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те \dfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1995 пра­вая круг­лая скоб­ка =\dfrac14 ко­си­нус в квад­ра­те \dfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1996 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что, оче­вид­но, боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024