Решите неравенства:
а)
б)
в) Докажите, что уравнение имеет решения при любых целых k.
Решение. а) Сделав замену получим неравенство которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой (см. рисунок). Ясно, что неравенство выполняется при значит,
Ответ:
б) Замена приводит к неравенству или где
Ответ:
в) Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену получим уравнение или Множеством значений при является объединение лучей (см. рис.), которое содержит все целые числа.
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
б) Замена приводит к неравенству или где
б) Замена приводит к неравенству или где