сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 30 № 963
i

а)  Пусть a мень­ше или равно b, x мень­ше или равно y. До­ка­жи­те, что левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 левая круг­лая скоб­ка ax плюс by пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  До­ка­жи­те не­ра­вен­ство Че­бы­ше­ва: если

a_1 мень­ше или равно a_2\leqslant\dots мень­ше или равно a_n, b_1 мень­ше или равно b_2\leqslant\dots мень­ше или равно b_n, то \sum_1 в сте­пе­ни n a_i\sum_1 в сте­пе­ни n b_i мень­ше или равно n\sum_1 в сте­пе­ни n a_ib_i.

в)  Пусть функ­ция f мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . До­ка­жи­те, что при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx мень­ше или равно 2 при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 xf левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­ка­жем, что

2 левая круг­лая скоб­ка ax плюс by пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =ax плюс by минус ay минус bx= левая круг­лая скоб­ка y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

б)  По ин­дук­ции:

левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \sum_i=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a_ib_i минус левая круг­лая скоб­ка \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i плюс a_n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \sum_i=1 в сте­пе­ни n b_i плюс b_n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = n\sum_i=1 в сте­пе­ни n a_ib_i плюс \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_ib_i плюс a_n плюс 1b_n плюс 1 плюс na_n плюс 1b_n плюс 1 минус

минус \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i\sum_i=1 в сте­пе­ни n b_i минус a_n плюс 1b_n плюс 1 минус b_n плюс 1\sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i минус a_n плюс 1\sum_i=1 в сте­пе­ни n b_i боль­ше или равно na_n плюс 1b_n плюс 1 плюс \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_ib_i минус b_n плюс 1\sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i минус a_n плюс 1\sum_i=1 в сте­пе­ни n b_i=

=\sum_i=1 в сте­пе­ни n a_i левая круг­лая скоб­ка b_i минус b_n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \sum_i=1 в сте­пе­ни n a_n плюс 1 левая круг­лая скоб­ка b_n плюс 1 минус b_i пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum_i=1 в сте­пе­ни n левая круг­лая скоб­ка b_n плюс 1 минус b_i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a_n плюс 1 минус a_i пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

в)  Пер­вое ре­ше­ние: по­сколь­ку f воз­рас­та­ет на левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то при всех x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка имеем

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Далее, так как под­гра­фи­ки функ­ций h и g сим­мет­рич­ны, то они имеют оди­на­ко­вую пло­щадь, зна­чит,

при­над­ле­жит t_\tfrac12 в сте­пе­ни 1 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t_\tfrac12 в сте­пе­ни 1 g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx\geqslant при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка dx,

от­ку­да и по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое не­ра­вен­ство. Вто­рое ре­ше­ние (см. рис.):

2 при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 x f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: n конец дроби \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби n левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n конец дроби \sum_k=1 в сте­пе­ни n f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: n конец дроби \geqslant при­над­ле­жит t_0 в сте­пе­ни 1 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: n конец дроби .

В силу про­из­воль­но­сти n от­сю­да сле­ду­ет тре­бу­е­мое не­ра­вен­ство.

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024