РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 96 Добавить в вариант

Конечная последовательность чисел $x_1, x_2 ... x_N$ обладает следующим свойством:

$x_n плюс 2=x_n минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x_n плюс 1 конец дроби$ для всех $1 меньше или равно n меньше или равно N минус 2.$

Найдите максимально возможное число членов данной последовательности, если x₁ = 20; x₂ = 16.

Спрятать решение

Решение.

Последовательность будет иметь максимальное число членов, если последний её член будет равен нулю. Иначе эту последовательность можно продолжить.

Для всех $1 меньше или равно n меньше или равно N минус 2$ имеем:

$x_n плюс 2=x_n минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x_n плюс 1 конец дроби равносильно x_n плюс 2 умножить на x_n плюс 1=x_n плюс 1 умножить на x_n минус 1 равносильно x_n плюс 1 умножить на x_n=x_n плюс 2 плюс 1.$

Пусть x_N = 0, тогда

$x_N минус 1 умножить на x_N минус 2=x_N умножить на x_N минус 1 плюс 1=1;$

$x_N минус 2 умножить на x_N минус 3=x_N минус 1 умножить на x_N минус 2 плюс 1=1 плюс 1=2;$

...

$x_3 умножить на x_2= левая круглая скобка N минус 4 правая круглая скобка плюс 1=N минус 3;$

$x_2 умножить на x_1= левая круглая скобка N минус 3 правая круглая скобка плюс 1 равносильно x_2 умножить на x_1=N минус 2 равносильно$

$равносильно x_2 умножить на x_1 =20 умножить на 16 равносильно N=20 умножить на 16 плюс 2 равносильно N=322.$

Ответ: 322.

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь