РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 93 Добавить в вариант

Егоров решил открыть накопительный вклад для покупки автомобиля стоимостью 900000 руб. Начальная сумма вклада равна 300000 руб. Через месяц и далее ежемесячно Егоров планирует пополнять свой вклад на 15000 руб. Банк начисляет ежемесячно проценты по ставке 12% годовых. Начисленные за месяц проценты перечисляются на вклад, и в следующем месяце на них также начисляются проценты. Через какое наименьшее число месяцев на вкладе будет сумма достаточная для покупки автомобиля?

Спрятать решение

Решение.

Пусть S_n  — сумма вклада через n месяцев после начисления процентов и после внесения дополнительных взносов D (15000 руб.). Так как в месяц банк начисляет 1%, то

$S_1=300000 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D;$

$S_2=S_1 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D= левая круглая скобка S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в квадрате плюс D левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка правая круглая скобка ;$ $S_2=S_1 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D= левая круглая скобка S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D=$
$=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в квадрате плюс D левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка правая круглая скобка ;$ $S_2=S_1 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D=$
$= левая круглая скобка S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D=$
$=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в квадрате плюс D левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка правая круглая скобка ;$

$S_3=S_2 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка = левая круглая скобка S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в квадрате плюс D левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D=$ $S_3=S_2 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в квадрате плюс D левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс D=$

$=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в кубе плюс D левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка ;$

...

$S_n=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени n плюс D левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$ $S_n=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени n плюс$
$плюс D левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$

Применяя формулу суммы n членов геометрической прогрессии, получаем:

$левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс 1= дробь: числитель: 1,01 в степени n минус 1, знаменатель: 1,01 минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1,01 в степени n минус 1, знаменатель: 0,01 конец дроби .$ $левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка плюс 1=$
$= дробь: числитель: 1,01 в степени n минус 1, знаменатель: 1,01 минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1,01 в степени n минус 1, знаменатель: 0,01 конец дроби .$

Следовательно, $S_n=S_0 левая круглая скобка 1 плюс 0,01 правая круглая скобка в степени n плюс D дробь: числитель: 1,01 в степени n минус 1, знаменатель: 0,01 конец дроби .$

Искомое число месяцев удовлетворяет неравенству:

$300000 умножить на 1,01 в степени n плюс 15000 дробь: числитель: 1,01 в степени n минус 1, знаменатель: 0,01 конец дроби больше или равно 900000 равносильно$

$равносильно 3 умножить на 1,01 в степени n плюс 15 левая круглая скобка 1,01 в степени n минус 1 правая круглая скобка больше или равно 9 равносильно$

$равносильно 18 умножить на 1,01 в степени n больше или равно 24 равносильно 1,01 в степени n больше или равно дробь: числитель: 24, знаменатель: 18 конец дроби равносильно n больше или равно 28,91.$

Таким образом, достаточная для покупки автомобиля сумма будет на вкладе через 29 месяцев.

Ответ: через 29 месяцев.

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Сюжетные задачи типа ЕГЭ

Спрятать решение · Помощь