РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 9055 Добавить в вариант

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Точка R₁  — середина отрезка ST; точка R₂  — середина отрезка SR₁; для каждого $n больше или равно 3$ точка R_n  — середина отрезка $R_n минус 2 R_n минус 1.$ Пусть R  — предельное положение точки R_n при $n arrow бесконечность .$ Найдите длину отрезка RT, если длина отрезка ST равна 15 .

Решение. Обозначим $T=R_ минус 1,$ $S=R_0,$ тогда R_n  — середина отрезка $R_n минус 2 R_n минус 1$ для каждого $n больше или равно 1.$ Легко видеть, что на отрезке точки будут расположены в следующем порядке:

$S=R_0, R_2, R_4, \ldots, R, \ldots, R_3, R_1, R_ минус 1=T.$

Поэтому

$R T=R_ минус 1 R_1 плюс R_1 R_3 плюс R_3 R_5 плюс \ldots$

Далее, длина отрезка $R_n плюс 1 R_n$ в два раза меньше длины отрезка $R_n R_n минус 1,$ откуда длина отрезка $R_n плюс 2 R_n плюс 1$ в четыре раза меньше длины отрезка $R_n R_n минус 1.$ Значит,

$R T=R_ минус 1 R_1 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в квадрате конец дроби плюс \ldots правая круглая скобка = дробь: числитель: S T, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби =10.$

Ответ: 10.

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Ответ: 10.

9055

10.

Олимпиада: Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Разное. Сборная солянка

Год: 2023

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	9055	10.