РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Найти все четвёрки действительных чисел (a, b, c, d) таких, что

$a левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка =b левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =c левая круглая скобка d плюс a правая круглая скобка =d левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка .$ $a левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка =b левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =$
$=c левая круглая скобка d плюс a правая круглая скобка =d левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка .$

Решение. Вычитая первое выражение из третьего, получим ab  =  cd, вычитая четвёртое выражение из второго, получим ad  =  bc.

1.  Если одно из переменных, скажем a, равно 0, то одно из c, d равно 0 и одно из b, c равно 0. В случае $c не равно q 0$ будет $b=d=0$ и тогда все четыре выражения в условии равны 0 и между собой. Если же c  =  0,bd  =  0 и одно из b, d равно 0, то есть снова три из переменных равны 0. Аналогично, все четвёрки, в которых три переменных равны 0, a четвёртое произвольно, являются решениями задачи.

2.  Далее все a, b, c, d не равны 0. Тогда, перемножив равенства ab  =  cd и ad  =  bc и сократив на db, получим $a в квадрате =c в квадрате ,$ то есть $a= \pm c.$ Обозначим $c=\varepsilon a,$ $\varepsilon= \pm 1,$ тогда и $d=\varepsilon b.$ Подставим полученные выражения в равенства из условия, получим

$a левая круглая скобка b плюс \varepsilon a правая круглая скобка =b левая круглая скобка \varepsilon a плюс \varepsilon b правая круглая скобка =\varepsilon a левая круглая скобка \varepsilon b плюс a правая круглая скобка =\varepsilon b левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$ $a левая круглая скобка b плюс \varepsilon a правая круглая скобка =b левая круглая скобка \varepsilon a плюс \varepsilon b правая круглая скобка =$
$=\varepsilon a левая круглая скобка \varepsilon b плюс a правая круглая скобка =\varepsilon b левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$

из которых второе и третье следуют из первого $a левая круглая скобка b плюс \varepsilon a правая круглая скобка =b левая круглая скобка \varepsilon a плюс \varepsilon b правая круглая скобка .$

3.  Если ϵ  =  1, то $a в квадрате =b в квадрате$ и $b= дельта a,$ $дельта = \pm 1.$ В этом случае получаем четвёрку чисел (a, δa, a, δa)  — решение, когда либо все числа a, b, c, d равны (при δ  =  1), либо четвёрку (a, –a, a, –a), когда каждая из сумм b + c, c + d, d + a, a + b равна 0 (при δ  =  −1).

4.  Если $\varepsilon= минус 1,$ то

$a левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка =b левая круглая скобка минус a минус b правая круглая скобка равносильно$
Broken TeX $a левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка =b левая круглая скобка минус a минус b правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате =2 a в квадрате равносильно$
$равносильно b= левая круглая скобка минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка a.$

В этом случае получаем две четвёрки решений: $левая круглая скобка a, левая круглая скобка минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка a, минус a, левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка a правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a, левая круглая скобка минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка a, минус a, левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка a правая круглая скобка .$ В итоге, система уравнений из условия имеет 8 бесконечных серий решений, получающихся умножением каждого из чисел

$левая круглая скобка 1, 0, 0, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 1, 0, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 0, 1, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 0, 0, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, 1, 1, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, минус 1, 1, минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , минус 1, 1 \mp корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$

на любое действительное число.

Ответ: 8 бесконечных серий решений, получающихся умножением каждого из чисел $левая круглая скобка 1, 0, 0, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 1, 0, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 0, 1, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 0, 0, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, 1, 1, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, минус 1, 1, минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , минус 1, 1 \mp корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$ на любое действительное число.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	9039	8 бесконечных серий решений, получающихся умножением каждого из чисел $левая круглая скобка 1, 0, 0, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 1, 0, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 0, 1, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0, 0, 0, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, 1, 1, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, минус 1, 1, минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1, минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , минус 1, 1 \mp корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка$ на любое действительное число.

Ключ