Дан треугольник ABC, точка I — центр его вписанной окружности. На лучах BI и CI соответсвенно отмечены такие точки (отличные от I) E и F, что AI = AE = AF. Докажите, что площади треугольников BIF и CIE равны.
Рассмотрим точку D — середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC. По лемме о трезубце 
Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI.
Отсюда получаем
(первое равенство из первого подобия, второе — из второго). Раскрывая пропорцию, имеем 
Из этого равенства следует требуемое равенство площадей треугольников BIF и CIE поскольку углы при вершине I в треугольниках BIF и CIE равны как вертикальные.