РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8509 Добавить в вариант

Вычислить $\underset левая круглая скобка 2018 троек, 1009 двоек, 1009 четверок правая круглая скобка \mathop корень из: начало аргумента: 333 \ldots33 минус 22 \ldots 2244\ldots 44 конец аргумента .$

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся геометрической прогрессией. Имеем:

$корень из: начало аргумента: 3 левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 1010 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в квадрате плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $= корень из: начало аргумента: 3 левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 1010 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 2017 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в квадрате плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1088 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $= корень из: начало аргумента: 3 левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1018 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в квадрате плюс \ldots плюс 10 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 1 плюс 10 плюс 10 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс . . плюс 10 в степени левая круглая скобка 1008 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка минус 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 10 в степени левая круглая скобка 1009 конец аргумента минус 1, знаменатель: 10 минус 1 конец дроби умножить на левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 1009 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 1009 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 99 \ldots 99, знаменатель: 3 конец дроби =33 \ldots 33$ (1009 троек).

Ответ: 33...33 (1009 троек).

Приведем другое решение.

Разложим на множители:

$\underset левая круглая скобка 2018 троек, 1009 двое, 1009 четверок правая круглая скобка \mathop корень из: начало аргумента: 333 \ldots33 минус 22 \ldots 2244\ldots 44 конец аргумента = \underset левая круглая скобка 1009 единиц, 1008 нулей, 1009 нулей правая круглая скобка \mathop корень из: начало аргумента: 11\ldots 11 умножить на левая круглая скобка 30\ldots03 минус левая круглая скобка 2 умножить на 10\ldots0 плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка конец аргумента =$

$= \underset левая круглая скобка 1009 единиц, 1009 нулей правая круглая скобка \mathop корень из: начало аргумента: 11\ldots 11 умножить на левая круглая скобка 10\ldots 00 минус 1 правая круглая скобка конец аргумента = \underset левая круглая скобка 1009 единиц, 1009 девяток правая круглая скобка \mathop корень из: начало аргумента: 11\ldots11 умножить на 99\ldots99 конец аргумента =$

$= \underset левая круглая скобка 1009 единиц правая круглая скобка \mathop корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 11\ldots11 правая круглая скобка в квадрате умножить на 9 конец аргумента = \underset левая круглая скобка 1009 единиц правая круглая скобка \mathop11\ldots11 умножить на 3 = 33\ldots 33$ (1009 троек).

Ответ: 33...33 (1009 троек).

Олимпиада Гранит науки, 10, 11, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Действия с корнями, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь