РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 816 Добавить в вариант

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 4900. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Спрятать решение

Решение.

Ввиду того, что $4900=7 в квадрате умножить на 2 в квадрате умножить на 5 в квадрате ,$ искомые числа могут состоять из следующих цифр: а) две двойки, две пятёрки, две семёрки и две единицы или б) четвёрка, две пятёрки, две семёрки и три единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае.

а)  Сначала выбираем два места из восьми для расположения двоек

$левая круглая скобка C_8 в квадрате = дробь: числитель: 8 !, знаменатель: 2 ! 6 ! конец дроби способов правая круглая скобка ,$

затем два места из шести оставшихся для размещения пятёрок

$левая круглая скобка C_6 в квадрате = дробь: числитель: 6 !, знаменатель: 4 ! 2 ! конец дроби способов правая круглая скобка ,$

затем два места из четырёх оставшихся для размещения семёрок

$левая круглая скобка C_4 в квадрате = дробь: числитель: 4 !, знаменатель: 2 ! 2 ! конец дроби . способа правая круглая скобка .$

Наконец, оставшиеся места занимают единицы. По правилу произведения выходит

$C_8 в квадрате умножить на C_6 в квадрате умножить на C_4 в квадрате = дробь: числитель: 8 !, знаменатель: 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! конец дроби умножить на 4=2520 способов.$

б)  Рассуждая аналогично, находим, что количество способов в этом случае равно

$дробь: числитель: 8 !, знаменатель: 2 ! 2 ! 3 ! конец дроби =1680.$

Окончательно получаем $2520 плюс 1680=4200$ способов.

Ответ: 4200.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Разобран только один случай 1 балл (при этом балл ставится, даже если результат в случае не сведён к числу).

Разобраны два случая — 3 балла (при этом баллы ставятся, даже если результат в случае не сведён к числу).

Аналоги к заданию № 809: 816 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь