сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Две окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са 5 пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. На пер­вой окруж­но­сти вы­бра­на точка C, а на вто­рой  — точка D. Ока­за­лось, что точка B лежит на от­рез­ке CD, а \angle CAD = 90 гра­ду­сов . На пер­пен­ди­ку­ля­ре к CD, про­хо­дя­щем через точку B, вы­бра­на точка F так, что BF=BD (точки A и F рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от пря­мой CD). Най­ди­те длину от­рез­ка CF.

б)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что BC=10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACF.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть R=5  — ра­ди­у­сы дан­ных в усло­вии окруж­но­стей, \angle B A D= альфа и \angle B C F= бета . Тогда \angle B A C= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус альфа , и по тео­ре­ме си­ну­сов B D=2 R синус альфа , и

B C=2 R синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =2 R ко­си­нус альфа .

Зна­чит,

C F в квад­ра­те =B C в квад­ра­те плюс B D в квад­ра­те =4 R в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те альфа плюс 4 R в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа =4 R в квад­ра­те \Rightarrow C F=2 R=10.

б)  Так как

 тан­генс бета = дробь: чис­ли­тель: B F, зна­ме­на­тель: B C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: B D, зна­ме­на­тель: B C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби = тан­генс альфа ,

то  бета = альфа . За­ме­тим, что

 ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: B C, зна­ме­на­тель: F C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

по­это­му  бета боль­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Далее, углы ADC и ACD впи­са­ны в рав­ные окруж­но­сти и опи­ра­ют­ся на одну и ту же хорду AB, по­это­му они равны, и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CAD на­хо­дим, что

\angle A D C=\angle A C D= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Тогда

\angle A B C= Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс альфа ,

по­это­му

A C=2 R синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак,

S_A C F= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на C A умно­жить на C F умно­жить на синус \angle A C F= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 R синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 R синус левая круг­лая скоб­ка бета минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2 R в квад­ра­те синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка альфа минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 R в квад­ра­те синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс альфа пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
= минус R в квад­ра­те синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = минус R в квад­ра­те ко­си­нус 2 альфа =R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =7.

Ответ: C F=10, S_\triangle A C F=7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Решён пункт а) — 2 балла.

Решён пункт б) — 4 балла.

До­ка­за­но, что тре­уголь­ник ACD рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный (или най­ден один из его ост­рых углов) — 1 балл (этот балл может сум­ми­ро­вать­ся с 2 бал­ла­ми за пункт a)).

При ре­ше­нии счи­та­ет­ся, что точка B — се­ре­ди­на CD — 0 бал­лов за даль­ней­шие рас­суж­де­ния и не более 1 балла за за­да­чу.

При ре­ше­нии без обос­но­ва­ния счи­та­ет­ся, что точка A лежит на от­рез­ке DF — 0 бал­лов за за­да­чу.


Аналоги к заданию № 814: 821 Все