сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В сосуд, име­ю­щий форму пря­мо­го кру­го­во­го ко­ну­са, на­ли­ва­ют воду. Если сосуд уста­нов­лен «ост­рым» кон­цом вниз, то рас­сто­я­ние от уров­ня воды до плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равно 1 м. Когда сосуд пе­ре­вер­ну­ли, ока­за­лось, что рас­сто­я­ние от уров­ня воды до «остро­го» конца со­су­да равно  ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та  м. Най­ди­те вы­со­ту со­су­да, ответ дайте в мет­рах, при не­об­хо­ди­мо­сти округ­лив до сотых.

Объем ко­ну­са может быть най­ден по фор­му­ле V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S умно­жить на h, где S  — пло­щадь его ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та.

Water is poured into a vessel of the form of a straight circular cone. If the vessel is installed with the «sharp» end down then the distance from the water level to the base of the cone is 1 m. When the vessel was turned over, it turned out that the distance from the water level to the «sharp» end of the vessel is  ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та  m. Find the height of the vessel; give your answer in meters, rounded to two decimals if needed.

The volume of a cone can be found by the formula V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S умно­жить на h, where S is the area of its base and h is its height.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть h  — вы­со­та со­су­да, V0  — его объём, R  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, V  — объём воды. Если сосуд уста­нов­лен «ост­рым» кон­цом вниз, то вода за­пол­ня­ет конус вы­со­ты h минус 1 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния R_1= дробь: чис­ли­тель: h минус 1, зна­ме­на­тель: h конец дроби R (ввиду по­до­бия осе­вых се­че­ний ко­ну­сов). После пе­ре­во­ра­чи­ва­ния вода за­пол­ня­ет усе­чен­ный конус вы­со­той h минус x (здесь x= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка с ра­ди­у­са­ми ос­но­ва­ний R и R_2= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: h конец дроби R.

При­ме­няя фор­му­лу объёма ко­ну­са, по­лу­чим h в кубе минус левая круг­лая скоб­ка h минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе =x в кубе , от­ку­да

h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка \approx 1,62.

Let h be the height of the vessel, V0 its volume, R the radius of the base, V the volume of water. If the vessel is installed with the «sharp» end down, then the water fills the cone with the height h минус 1 and the radius of the base R_1= дробь: чис­ли­тель: h минус 1, зна­ме­на­тель: h конец дроби R (due to the similarity of the axial sections of the cones). After turning over, the water fills a truncated cone of heigh h минус x (here x= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка with base radii R and R_2= дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: h конец дроби R.

Applying the cone volume formula, we get h в кубе минус левая круг­лая скоб­ка h минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе =x в кубе , thus

h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка \approx 1,62.

 

Ответ: 1,62.